算法学习Day41整数拆分、不同的二叉搜索树

Day41整数拆分、不同的二叉搜索树

By HQWQF 2024/01/22

笔记

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343. 整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

• 输入: 2
• 输出: 1
• 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 输入: 10
• 输出: 36
• 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
• 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

动态规划

每个正整数对应的最大乘积取决于比它小的正整数对应的最大乘积。

比如如果对于n=10，在提前确定10 = 3 + x(10-3)时（x(10-3)代表更多项）要得到3 * x的最大乘积，就是求x(10-3)的的最大乘积，所以我们可以使用变量遍历这里的3为各种值的情况。

dp[i]代表分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

所以对于当前的i，我们使用遍历变量为j遍历1到i/2（更大的话后面的i-j会和前面的j重复），并且通过两种渠道得到dp[i]：

一个是只拆为两个数j * (i - j) 。

一个是拆为多个数j * dp[i - j]，相当于是继续拆分(i - j)。

我们可以取其中大的那个。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * j);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96.不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

动态规划

可以发现，对于n个元素的二叉搜索树来说，其所有的二叉搜索树结构可以分成3类，即1，2，3元素作为头节点的结构类型。

对于这3类结构，由于已经确定了头节点，该类结构的总结构数就是其左右子树的结构数和，而且其左右子树的元素数还必须符合二叉搜索树的定义，比如头节点是1的话其他元素都要在右子树上。

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

总结公式：

dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

设n为i，遍历i个元素的二叉搜索树的所有结构类型1到j（以1到j为头节点）

如果头节点是j，左边子树的元素的值必须比j小，也就是一共j-1个元素，右子树的元素的值必须比j大，一共i-j个元素。

递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j] ，j为1到i间所有整数

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};