[bzoj 1855] 股票交易

题意：

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。 通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。 另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。 在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

题解：

dp+单调队列优化。

设dp[i][j]为决策到第i天手上拥有j股的最大收益。

刚开始复杂度是\(O(n^2×m^2)\)的。

我们每次将dp[i][j]与dp[i-1][j]取max，这是不影响答案的，这样我们就可以让dp[i][j]直接被dp[max(0,i-w-1)][j]转移，复杂度为\(O(n×m^2)\)。

设k=max(0,i-w-1)接下来就是第i天的转移：

\(dp[i][j]=\max{dp[k][y]-ap[i]×(j-y)} (j-y>=0)\)
\(dp[i][j]=\max{dp[k][y]+bp[i]×(y-j)} (y-j>=0)\)

首先看第一项，我们观察第二维，j是固定的，那么我们希望ap[i]×y越大越好，于是我们开一个单调队列维护第二维的y，将dp[k][y]+ap[i]×y小的直接丢弃，第二项同理。
于是复杂度就变为了\(O(n×m)\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define N 2010
using namespace std;

int dp[N][N],q[N],ap[N],bp[N],as[N],bs[N];

int gi() {
  int x=0,o=1; char ch=getchar();
  while(ch!='-' && (ch<'0' || ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') o=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return o*x;
}

int main() {
  int t=gi(),p=gi(),w=gi(),k,hd,ta;
  for(int i=1; i<=t; i++) ap[i]=gi(),bp[i]=gi(),as[i]=gi(),bs[i]=gi();
  memset(dp,-127,sizeof(dp));
  dp[0][0]=0;  
  for(int i=1; i<=t; i++) {
    for(int j=0; j<=p; j++)
      dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
    k=max(0,i-w-1);//Mis1：第0天可以对任意天转移 
    q[hd=ta=1]=0;
    for(int j=1; j<=p; j++) {
      while(hd<=ta && j-q[hd]>as[i]) hd++;
      dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][q[hd]]+ap[i]*(q[hd]-j));
      while(hd<=ta && dp[k][q[ta]]+ap[i]*q[ta]<=dp[k][j]+ap[i]*j) ta--;
      q[++ta]=j;
    }
    q[hd=ta=1]=p;
    for(int j=p-1; j>=0; j--) {
      while(hd<=ta && q[hd]-j>bs[i]) hd++;
      dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][q[hd]]+bp[i]*(q[hd]-j));
      while(hd<=ta && dp[k][q[ta]]+bp[i]*q[ta]<=dp[k][j]+bp[i]*j) ta--;
      q[++ta]=j;
    }
  }
  printf("%d", dp[t][0]);
  return 0;
}