区间DP的瞎扯淡
写在前面
连个引言都不加就直接开
1. 区间DP状态常见模板：
f[i][j]常常表示第i个到第j个这个区间内达到题目要求，所需要的最小值（最大值）
如：
1. [石子合并](https://www.luogu.com.cn/problem/P1880)
这里的f[i][j]表示将i～j堆石头合并所需要的最小/大体力
1. [关路灯](https://www.luogu.com.cn/problem/P1220)
这里的f[i][j][0/1]表示将i～j的区间的灯完全关闭，老人站在左/右端点时剩下的灯的总功率
1. [能量项链](https://www.luogu.com.cn/problem/P1063)
这里的f[i][j]表示将i～j的珠子完全合并所能产生的最大能量
#### 总结：对于一个区间DP的状态设计来说，常常以f[i][j]进行第i个到第j个这个区间的状态设计，并辅以第三维的变量来契合题目：
如[乘积最大](https://www.luogu.com.cn/problem/P1018)的一种状态设计就是f[i][j][x]表示i～j的区间内使用x个乘号可以得到的最大值。
1. 区间DP状态转移方程模板：
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j));
如：
1. [石子合并](https://www.luogu.com.cn/problem/P1880)
1 f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j),f[i][j]) 2 3 =max(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j]) 4 5 又可以进一步优化得f[i][j]=max(f[i+1][j]]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j-1]+sum[j]-sum[i-1]);
但其本质仍然是原模板
2.[又是关路灯](https://www.luogu.com.cn/problem/P1220)
1 f[i][j][0]= 2 min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(sum[i] +sum[n]-sum[j]),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(sum[i]+sum[n]-sum[j])); 3 4 f[i][j][1]= 5 min(f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]));这里引用了[这篇z2415445508大佬的题解](https://www.luogu.com.cn/blog/user44468/solution-p1220)~~，原因是我懒得再推DP方程。~~
实质上，利用本题条件，如石子合并一样将k优化为i+1或j-1同样是是相同模板变形。
3.[能量项链我不想举例子](https://www.luogu.com.cn/problem/P1063)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i+1]*a[k+1]*a[j])；
仅仅是w(i,j)稍有不同，这里更可以看出原模板变形。
1. 边界模板
边界是我们区间DP时常常漏掉的一环，因为它实在是太显而易见了( _~~然而并不是这样~~_ )
以至于在我写这里的时候根本不知道该写什么
通常来说，区间DP的边界是
(1<=i,j<=n;) (i<=k<=j;)(=的添加与否由具体情况讨论，我见过最多的是(i<=k<j)和(i<k<=j)
懒的举例子.
4.前言总结
所谓模板,只是用来在考试时帮助你认清题目本质的,一味套板是不可取的.
# 正文
1. 下定义!
"区间动态规划是线性动归的拓展，在划分阶段时，往往是以区间的长度从小到大为阶段，逐步求解到到长度为N的区间的最优值，在枚举每一个区间的最优值时，由于当前区间内又有很多种合并方式并到到当前区间，那么就需要枚举这些合并方式中产生的值维护最优值，合并的不同，可以看作是区间划分的不同，划分时需要枚举划分的位置，即分割点。 那么对于区间类动态规划问题，往往可以将问题分解成为两两合并的形式。其解决方法是对整个问题设最优解，枚举分割点，维护最优值。
————[一位巨佬](https://www.cnblogs.com/SuYii/p/10988769.html)
这段话还是说得非常精彩的，揭露了区间DP的本质——小区间递推大区间。
2.实现
```cpp
for(int l=1;l<n;l++) { for(int i=1,j;i+l<=2*n;i++) { j=i+l; f[i][j]=-0x7fffffff; fz[i][j]=0x7fffffff; for(int k=i;k<j;k++) { if(fu[k+1]==1) { f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]); fz[i][j]=min(fz[i][j],fz[i][k]+fz[k+1][j]); } if(fu[k+1]==2) { f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]*f[k+1][j]); f[i][j]=max(f[i][j],fz[i][k]*f[k+1][j]); f[i][j]=max(f[i][j],fz[i][k]*fz[k+1][j]); f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]*fz[k+1][j]); fz[i][j]=min(fz[i][j],fz[i][k]*fz[k+1][j]); fz[i][j]=min(fz[i][j],f[i][k]*fz[k+1][j]); fz[i][j]=min(fz[i][j],fz[i][k]*f[k+1][j]);
fz[i][j]=min(fz[i][j],f[i][k]*f[k+1][j]); } } } }
以上是[多边形](https://www.luogu.com.cn/problem/P4342)我的部分代码，其中：
1. l代表一个区间的长度（这里我定义的并非标准的长度，而是图方便定义为(右端点-左端点)的值，标准的长度还要再加1;
2. i代表左端点的位置;
3. j代表左端点的位置;
4. k代表划分的位置，即分割点。
问：为什么要先枚举长度再枚举端点？
答：区间DP是由小区间递推大区间的情况，若先端点再长度会出现大区间内有小区间的情况不明了的情况。
如：f[1][3]理应=f[1][2]+f[2][3]+w(1,3);但此时f[2][3]并未求出
3. 时间复杂度
朴素的区间DP的时间复杂度为O(N^3)
4. 破环成链
[双是石子合并](https://www.luogu.com.cn/problem/P1880)
代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,a[5000],sum[5000],f[5000][5000],ans; inline void read(int &s) { int w=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-')w=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); s=s*w; return; } int main() { read(n); for(int i=1; i<=n; i++) { read(a[i]); sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } for(int i=n+1; i<=2*n; i++) { a[i]=a[i-n]; sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } for(int l=1; l<n; l++) { for(int i=1,j; i+l<=2*n; i++) { j=i+l; f[i][j]=max(f[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j-1]+sum[j]-sum[i-1]); } } for(int i=1; i<=n; i++) { ans=max(ans,f[i][i+n-1]); } printf("%d\n",ans); return 0; }
