狄利克雷卷积 常用结论

A: \(\varphi * I = id\)

证明这个东西其实就是证明欧拉函数的性质：\(\sum_{d|n} \varphi(d) = n\)

两种方法：
1.

首先写出\(\frac{1}{n} \frac{2}{n} \frac{3}{n} ... \frac{n}{n}\)

然后将这些分数化至最简分数

那么此时的分母一定对应着一个d 而此时的分子一定与分母是互质的 所以\(\varphi(n)\) 其实就是分母为n的分数有多少个

所以\(\sum_{d|n} \varphi(d)\) 按照上面的方式理解，就是各个分母数量之和，显然等于n

设\(f(n) = \sum_{d|n} \varphi(d)\)

先来证明\(f\)是个积性函数

令\(n\) 与 \(m\) 互质

那么\(f(n) * f(m) = \sum_{d|n} \varphi(d) * \sum_{k|m} \varphi(k)\)

\(f(n) * f(m) = \sum_{d|n} \sum_{k|m} \varphi(d) * \varphi(k)\)

\(f(n) * f(m) = \sum_{d|n} \sum_{k|m} \varphi(d*k)\)

因为\(nm\)互质 所以原式等价于

\(f(n) * f(m) = \sum_{d*k|n*m} \varphi(d*k)\)

令\(D=d*k\)

\(f(n) * f(m) = \sum_{D|n*m} \varphi(D)\)

\(f(n) * f(m) = f(n*m)\)

得证

令\(n = p_1^{c_1} * p_2^{c_2} * p_3^{c_3} * ... * p_k^{c_k}\)

则\(f(n) = \sum_{d|n} \varphi(d)\)

\(f(n) = \sum_{d_1|{p_1^{c_1}}} \varphi(d_1) * \sum_{d_2|{p_2^{c_2}}} \varphi(d_2) * \sum_{d_3|{p_3^{c_3}}} \varphi(d_3) * \sum_{d_k|{p_k^{c_k}}} \varphi(d_k)\)

\(f(n) = f(p_1^{c_1}) * f(p_2^{c_2}) * f(p_3^{c_3} ) * ... * f(p_k^{c_k})\)

又\(f(p^k) = \varphi(p) + \varphi(p^2) + \varphi(p^3) + ... + \varphi(p^k)\)

所以得到\(f(p^k) = 1 + p-1 + p^2-p + p^3-p^2+...+p^k-p^{k-1} = p^k\)

\(f(p_1^{c_1}) * f(p_2^{c_2}) * f(p_3^{c_3} ) * ... * f(p_k^{c_k}) = p_1^{c_1} * p_2^{c_2} * ... * p_k^{c^k}\)

右边等于\(n\)

所以\(f(n) = n\)

原式得证

B: \(\mu * I = e\)

莫比乌斯函数性质

用二项式定理即可

C: \(\mu * id = \varphi\)

首先\(\varphi * I = id\)

同乘\(\mu\)

\(\varphi * I * \mu = id * \mu\)

\(\varphi * e = id * \mu\)

\(\varphi = id * \mu\)