礼物（概率dp）

题目大意

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生 日礼物。
商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种礼物的喜悦值不能重复获得）。
每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也算一次购买。
众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。
求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期望购买次数。

输入格式

第一行，一个整数N，表示有N种礼物。
接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和 可以获得喜悦值。

输出格式

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。
第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数。

数据范围

对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1
注意：本题不设spj

算法分析

• N最大只有20 所以显然可以用状压来做
• 若我们用1来表示买了 0表示未买 则我们照样选择倒着枚举 然后举例说明
  10101这样一个状态 再买一个东西可以转移到 10111 或者 11101两种
  买到第二个位置的概率 乘上之前已经求过的 10111 的dp值 然后把每个0的位置都枚举一遍 求和 再加上（ 1 - 所有0位置的概率和)（这是买空或者买到买过的东西的概率） × dp[当前状态] 就好了
• 所以我们转移方程写出来应该是这个样子的 f[i] = \(\sum\) (dp[j] * p[k]) + (1 - \(\sum\)p[k]) * f[i] + 1
  移项之后可以得到 f[i] = (\(\sum\) (dp[j] * p[k]) + 1) \(\div\) (\(\sum\)p[k])
  i 表示当前的状态 j表示当前状态再买一个之前没买过的物品的后的可能状态 k表示买到那一个物品的概率

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 25;
const int Max = 1 << 20;
double p[maxn];
double f[Max];
int w[maxn];
ll sum;


int main(){
	int n;scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		int x;scanf("%lf%d",&p[i],&x);
		sum += x;
	}
	int S = (1 << n) - 2;
	for(int i = S;i >= 0;--i){
		double sump = 0;//$\sum$p[k]
		double sum = 0;//$\sum$ (dp[j] * p[k])
		for(int j = 1;j <= n;++j){//枚举买了第几个物品
			int cur = 1 << (j-1);
			if(cur & i)continue;//这个物品是否已经买过
			sum += p[j] * f[cur | i];//f[cur|i] 一定在之前的时候求过了
			sump += p[j];//让买到新物品的概率累加
		}
		f[i] = (sum + 1) * 1.0 / sump;//刚才推导的式子
	}
	printf("%lld\n%.3lf\n",sum,f[0]);
	return 0;
}