跳跳棋

跳跳棋 洛谷

题目描述

跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。

我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有 \(3\) 颗棋子，分别在 \(a,b,c\) 这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成 \(x,y,z\)。（棋子是没有区别的）

跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过 \(1\) 颗棋子。

写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

---

输入格式

第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置 \(a,b,c\)。（互不相同）

第二行包含三个整数，表示目标位置 \(x,y,z\)。（互不相同）

---

输出格式

如果无解，输出一行 NO。

如果可以到达，第一行输出 YES，第二行输出最少步数。

---

样例输入

1 2 3
0 3 5

---

样例输出

YES
2

---

提示

• \(100\%\) 绝对值不超过 \(10^9\)。

---

设三个点的位置为 \(x\)，\(y\)，\(z\)，且 \(x<y<z\)。

这时的移动方式理论上有六种，但是因为只能跨越一个点，所以 \(x->z\) 与 \(z->x\) 是不行的。

不过也不是四种，如果 \(y-x<z-y\)，那么 \(x->y\) 就会跨越两个点，所以不行。

综上，可以分为三种情况：

1. \(y-x<z-y\)，要么中间往两边跳，要么左边往右跳
2. \(y-x>z-y\)，要么中间往两边跳，要么右边往左跳
3. \(y-x=z-y\)，只能中间往两边跳

这时我们注意到，如果是两边往中间跳，它会不断跳下去，直到 \(y-x=z-y\)，就必须往左右跳。

那么 YES 和 NO 我们就可以判断了，让起点和终点不断往里面跳（不断缩小），直到不能往里跳为止。

如果此时两个状态相等，就说明至少可以通过这个最小的状态来转换（因为行走方式是可逆的，我可以从终点走到这里，就说明可以从这里走到终点），否则是 NO

但是题目还要求我们输出最短路径，而最小状态不一定是最短路径，因为有可能在到达最小状态时，就已经有两状态相等的情况了。

很明显，这是一颗二叉树，根节点为最小状态，它的左儿子为中间向左跳，右儿子为中间向右跳。

那么两个状态就可以在树中找到自己的位置（前提是已经判断好了最小状态相等），然后我们发现找最小状态就是判断根节点是否相等。

那么最短路径当然就是求 \(LCA\)，求就行了。

但是，由于树实在太大了，普通的倍增，树剖求 \(LCA\) 肯定不行，如果暴力跳，那么时间复杂度会爆炸。

不过我们发现，如果往上面找父亲时一直往一个方向走，是可以直接跳的。

什么意思呢？如果 \(y-x<z-y\)，那么左边一直往右跳，跳两次就相当于左边两个点往右平移一个 \(y-x\)。

那么直接算一开始中间那个点能平移几次就行，肯定是 \(\frac{z-y-1}{y-x}\)（因为不能跳到相等）。

所以说，一个点向上爬 \(cnt\) 次的代码就出来了（我认为这是核心代码）。

//Group为我设的状态组
Group Move(Group x,int cnt,int &ans){
	while(cnt){
		int d1=x.y-x.x,d2=x.z-x.y,fac;
		if(d1==d2) return x;
		else if(d1>d2) fac=min((d1-1)/d2,cnt),x=(Group){x.x,x.y-fac*d2,x.z-fac*d2};
		else fac=min((d2-1)/d1,cnt),x=(Group){x.x+fac*d1,x.y+fac*d1,x.z};
		cnt-=fac;
		ans+=fac;
	}
	return x;
}

求 \(LCA\) 时，先跳到同一高度，然后二分一起跳的距离即可。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define lowbit(x) x&-x
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct Group{
	int x,y,z;
	void Sort(){
		if(x>y) swap(x,y);
		if(y>z) swap(y,z);
		if(x>y) swap(x,y);
		return ;
	}
}a,b;

Group Move(Group x,int cnt,int &ans){
	while(cnt){
		int d1=x.y-x.x,d2=x.z-x.y,fac;
		if(d1==d2) return x;
		else if(d1>d2) fac=min((d1-1)/d2,cnt),x=(Group){x.x,x.y-fac*d2,x.z-fac*d2};
		else fac=min((d2-1)/d1,cnt),x=(Group){x.x+fac*d1,x.y+fac*d1,x.z};
		cnt-=fac;
		ans+=fac;
	}
	return x;
}
bool cmp(Group x,Group y){
	if(x.x==y.x&&x.y==y.y&&x.z==y.z) return true;
	return false;
}
signed main()
{
	//freopen("data.in","r",stdin);
	//freopen("a.out","w",stdout); 
	scanf("%lld%lld%lld",&a.x,&a.y,&a.z);
	scanf("%lld%lld%lld",&b.x,&b.y,&b.z);
	a.Sort();b.Sort();
	int da=0,db=0,tmp=0;
	Group fa=Move(a,inf,da),fb=Move(b,inf,db);
	//cout<<da<<" "<<db<<endl;
	if(cmp(fa,fb)){
		printf("YES\n");
		if(da<db) swap(a,b),swap(da,db);
		a=Move(a,da-db,tmp);
		//cout<<a.x<<" "<<a.y<<" "<<a.z<<endl;
		int l=0,r=db;
		while(l<r){
			int mid=l+r>>1;
			if(cmp(Move(a,mid,tmp),Move(b,mid,tmp))) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		printf("%lld",da-db+2*l);
	}
	else printf("NO");
	return 0;
}