Hanoi 双塔问题
题目描述
给定\(A\)、\(B\)、\(C\)三根足够长的细柱,在\(A\)柱上放有\(2n\)个中间有孔的圆盘,共有\(n\)个不同的尺寸,每个尺寸都有两个相同的圆盘,注意这两个圆盘是不加区分的(下图为\(n=3\)的情形)。
现要将这些圆盘移到\(C\)柱上,在移动过程中可放在\(B\)柱上暂存。要求:
(1)每次只能移动一个圆盘;
(2)\(A\)、\(B\)、\(C\)三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序;
任务:设\(A_n\)为\(2n\)个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数,对于输入的\(n\),输出\(A_n\)。
输入格式
一个正整数\(n\),表示在\(A\)柱上放有\(2n\)个圆盘。
输出格式
一个正整数, 为完成上述任务所需的最少移动次数\(A_n\)。
样例输入
1
样例输出
2
提示
对于\(100\%\)的数据,\(1 \le n \le 200\)
这道题并不难,是一个十分简单的递推,由于此题与单塔问题是相同的,所以我们将两个相同的圆盘捆绑在一起
当 \(A\) 柱上放有 \(n\) 组圆盘时,我们需要做以下三步
- 将前 \(n-1\) 组圆盘移到 \(B\) 柱,需要 \(f_{i-1}\) 步
- 将剩下的一组圆盘移到 \(C\) 柱,需要 \(f_1\) 步
- 将 \(B\) 柱的 \(n-1\) 组木棍移到 \(C\) 柱,需要 \(f_{i-1}\) 步
不难得到递推式:\(f_i=2\times f_{i-1}+f_1\)
日常看看数据范围,发现不简单,我们忽略递推式的 \(f_1\) 你就会发现每一项都是前一项的大约两倍,这个增长速度十分快,况且还是 \(n\le 200\) ,这连 \(long\ long\) 都装不下,只好用高精度
(我习惯性用运算符重载+vector来做高精度,凑合看吧)
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int N=205;
vector<int> f[N];//f[i]->i组圆盘移到C柱需要多少步
vector<int> operator *(int a,vector<int> B)const{
int t=0;vector<int> C;
for(int i=0;i<B.size()||t;i++){
if(i<B.size()) t+=B[i]*a;
C.push_back(t%10);
t/=10;
}
return C;
}
vector<int> operator +(vector<int> A,vector<int> B)const{
int t=0;vector<int> C;
for(int i=0;i<A.size()||i<B.size();i++){
if(i<A.size()) t+=A[i];
if(i<B.size()) t+=B[i];
C.push_back(t%10);
t/=10;
}
if(t) C.push_back(t);
return C;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);f[1].push_back(2);
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=2*f[i-1]+f[1];
for(int i=f[n].size()-1;i>=0;i--) printf("%d",f[n][i]);
return 0;
}