Hanoi 双塔问题

Hanoi 双塔问题 洛谷

题目描述

给定\(A\)、\(B\)、\(C\)三根足够长的细柱，在\(A\)柱上放有\(2n\)个中间有孔的圆盘，共有\(n\)个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的（下图为\(n=3\)的情形）。

现要将这些圆盘移到\(C\)柱上，在移动过程中可放在\(B\)柱上暂存。要求：

（1）每次只能移动一个圆盘；

（2）\(A\)、\(B\)、\(C\)三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序；

任务：设\(A_n\)为\(2n\)个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的\(n\)，输出\(A_n\)。

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输入格式

一个正整数\(n\)，表示在\(A\)柱上放有\(2n\)个圆盘。

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输出格式

一个正整数, 为完成上述任务所需的最少移动次数\(A_n\)。

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样例输入

1

样例输出

2

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提示

对于\(100\%\)的数据，\(1 \le n \le 200\)

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这道题并不难，是一个十分简单的递推，由于此题与单塔问题是相同的，所以我们将两个相同的圆盘捆绑在一起

当 \(A\) 柱上放有 \(n\) 组圆盘时，我们需要做以下三步

1. 将前 \(n-1\) 组圆盘移到 \(B\) 柱，需要 \(f_{i-1}\) 步
2. 将剩下的一组圆盘移到 \(C\) 柱，需要 \(f_1\) 步
3. 将 \(B\) 柱的 \(n-1\) 组木棍移到 \(C\) 柱，需要 \(f_{i-1}\) 步

不难得到递推式：\(f_i=2\times f_{i-1}+f_1\)

日常看看数据范围，发现不简单，我们忽略递推式的 \(f_1\) 你就会发现每一项都是前一项的大约两倍，这个增长速度十分快，况且还是 \(n\le 200\) ，这连 \(long\ long\) 都装不下，只好用高精度

（我习惯性用运算符重载+vector来做高精度，凑合看吧）

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int N=205;
vector<int> f[N];//f[i]->i组圆盘移到C柱需要多少步

vector<int> operator *(int a,vector<int> B)const{
	int t=0;vector<int> C;
	for(int i=0;i<B.size()||t;i++){
		if(i<B.size()) t+=B[i]*a;
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	return C;
}
vector<int> operator +(vector<int> A,vector<int> B)const{
	int t=0;vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size()||i<B.size();i++){
		if(i<A.size()) t+=A[i];
		if(i<B.size()) t+=B[i];
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	if(t) C.push_back(t);
	return C;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);f[1].push_back(2);
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=2*f[i-1]+f[1];
	for(int i=f[n].size()-1;i>=0;i--) printf("%d",f[n][i]);
	return 0;
}