原根算法与剩余定理

原根

设\(g\)为模数\(p\)的一个原根，
那么\(g^x,g^{x+1}...g^{x+p-2}\)(连续\(p-1\)项)在模\(p\)意义下分别对应\([1,p-1]\)中的每一项。
质数一定有原根，考虑求原根。
首先由费马小定理，有\(g^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)。
我们暴力枚举\(g\)，然后枚举\(p-1\)的一个质因子\(\delta\)，若\(g^{\frac{p-1}{\delta}} \equiv 1(mod\ p)\)，则\(g\)不是原根。
否则这个\(g\)就是\(p\)的原根。
很好理解，如果\(g^{\frac{p-1}{\delta}} \equiv 1(mod\ p)\)，则说明\(g^x\equiv 1(mod\ p)\)的解多于一个，与原根定义矛盾。
一般来说，原根都很小，所以暴力枚举\(g\)是没有问题的(我见过的最大的原根为\(g=221\))。
原根的常见作用：乘法转加法。
在模\(p\)意义下，
求出原根\(g\)后建立映射关系：\(g^t\ t\in [0 , p-2]\ \ \to \ \ t\)，那么有\(g^a*g^b = g^{(a+b)\% (p-1)}\)。

N次剩余

求\(x^N \equiv n(mod\ p)\)的所有解\(x\)，其中\(p\)为一个素数。
若\(n = 0\)，显然\(x = 0\)为唯一解，下面讨论\(x\neq 0\)的解法：
首先求得\(p\)的原根\(g\)。
然后利用\(BSGS\)求出\(g^t \equiv n(mod\ p)\)。
那么现在问题变为：\(g^{Nx\%(p-1)} \equiv g^t (mod\ p)\)。
所以有：\(Nx\equiv t(mod\ p-1)\)，直接使用扩展欧几里得得解，复杂度\(O(\sqrt{p})\)。
有解性同 \(BSGS\)和扩欧算法 的有解性。

二次剩余

求\(x^2 \equiv n(mod\ p)\)的一个解\(x\)，其中\(p\)为一个奇素数。
若\(n = 0\)，显然\(x = 0\)为唯一解，下面讨论\(x\neq 0\)的解法：

引理1：\(n\)有二次剩余的条件为\(n^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(mod\ p)\)

根据费马小定理，我们有\(n^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)。
那么显然\(n^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1(mod\ p)\)。
假设可以找到一个\(x_0\)，满足\(x_0^2 \equiv n(mod\ p)\)，由于\(x_0^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)
又\((x_0)^{(p-1)} \equiv (n^{\frac{1}{2}})^{p-1}\)，所以有\(n^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(mod \ p)\)。

引理2：找到\(p\)的原根\(g\)，其中\(g^a \equiv n(mod\ p)\)，那么\(g^{\frac{a}{2}}\)即\(n\)在模\(p\)意义下的二次剩余。

有\(g^a \equiv n(mod\ p)\)，结合引理1：\((g^a)^{\frac{p-1}{2}} \equiv g^{\frac{a}{2}(p-1)} \equiv 1(mod\ p)\)。
根据原根的定义，我们有\(g^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)，且\(x=p-1\)为唯一解。
所以\((p-1) | (\frac{a}{2}(p-1))\)，消去\(p-1\)后有\(1|\frac{a}{2}\)。
所以\(a\)一定为偶数。
显然\(x_0 = \sqrt{g^a} = g^{\frac{a}{2}}\)为\(n\)在模\(p\)意义下的二次剩余。

我们可以归纳出一个\(O(\sqrt{p})\)的算法：
(1) 首先求出\(p\)的原根\(g\)。
(2) 快速幂判断\(n\)在模\(p\)意义下是否有二次剩余。
(3) 使用\(BSGS\)求出\(g^a\equiv n(mod\ p)\)的解\(a\)，\(a\)一定为偶数。
(4) \(x_0 = g^{\frac{a}{2}}\)即为\(n\)在模\(p\)意义下的二次剩余。

继续来看。
所以我们先随机\(rand\)一个数\(a\)，满足\(a^2 - n\)没有二次剩余，期望次数为\(2\)。
定义\(\delta = \sqrt{a^2 - n}\)。
类似复数，我们定义一个新的数域，即所有数可以表示为\(x + y\delta\),(\(x,y\leq p-1\))。

引理3：\(\delta^{p-1} \equiv -1(mod\ p)\)

由于\(a^2 - n\)没有二次剩余，所以\((a^2 - n)^{\frac{p-1}{2}} \neq 1(mod\ p)\)。
又\((a^2-n)^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)，所以\((a^2 - n)^{\frac{p-1}{2}} \equiv - 1(mod\ p)\)。
我们有\(\delta^2 = a^2 - n\)。
所以\(\delta^{p-1} = (\delta^{2})^{\frac{p-1}{2}} = (a^2 - n)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1(mod\ p)\)。

引理4：\((a + \delta)^{p+1} = n (mod\ p)\)，即\((a+\delta)^{\frac{p+1}{2}}\)为\(n\)在模\(p\)意义下的二次剩余。

\((a+\delta )^{p} = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} a^i \delta^{p-i}\ (mod\ p)\)。
除了第\(0\)、第\(p\)项，\(\binom{p}{i}\)的分子包含\(p\)，这个\(p\)肯定不会被分母消掉，所以一定被\(p\)整除。
所以\((a+\delta)^p = a^p + \delta^p\)。
我们有\(a^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)，\(\delta^{p-1} \equiv -1(mod\ p)\)。
所以\((a+\delta)^{p} = a - \delta\)。
所以\((a+\delta)^{p+1} = (a-\delta)(a+\delta) = a^2 - \delta^2 = a^2 -(a^2 - n) = n\)。
又\(p\)为一个奇素数，所以\(x_0 = (a+\delta)^{\frac{p+1}{2}}\)为\(n\)在模\(p\)意义下的二次剩余。

引理5：\((a + \delta)^{\frac{p+1}{2}} \equiv (x+y\delta)\ (mod\ p)\)，则\(y = 0\)。

根据代数基本定理，\(n = (x + y\delta)^2\)至多只会有两个解。
我们如果能够证明这两个解一定满足\(y = 0\)，那么原命题自然成立。
\((x+y\delta)^2 = x^2 + 2xy\delta + y^2\delta^2 = x^2 + y^2(a^2-n)+ 2xy\delta \equiv n(mod\ p)\)。
注意到同余式的右边不存在\(\delta\)。
所以有\(2xy\equiv 0(mod\ p)\)。
我们使用反证法，设\(x = 0\)，那么\((x+y\delta)^2 = y^2(a^2-n) \equiv n(mod\ p)\)。
我们已知\(a^2 -n\)没有二次剩余，且\(y^2\)显然有二次剩余。所以\(y^2(a^2-n)\)没有二次剩余。
所以同余式左边\(y^2(a^2-n)\)不存在二次剩余，而右边\(n\)存在二次剩余。
所以矛盾，假设不成立。
所以\(y = 0\)。
即\((a+\delta)^{\frac{p+1}{2}} = x_0\)是一个整数解，即我们所求。

根据上述，可以得到一个\(O(logp)\)求二次剩余的算法：
(1) 判断\(n\)在模\(p\)意义下是否存在二次剩余。
(2) 随机得到一个\(a\)，满足\(a^2-n\)不存在二次剩余。
(3) 重载运算\((x_1+y_1\delta)(x_2+y_2\delta) = (x_1x_2 + (a^2-n)y_1y_2) + (x_1y_2+x_2y_1) \delta\)
(4) 快速幂得到\((a+\delta)^{\frac{p+1}{2}} \equiv (x + y\delta)\ (mod\ p)\)。
(5) \(x_0 = x\)即\(n\)在模\(p\)意义下的二次剩余。

至此问题解决，虽然上面的这些东西实际中并没有什么用(QwQ)......