Grakn Forces 2020 I. Bitwise Magic

题意

给定\(k,c\)，再给定长度为\(n\)的序列（\(1\le n\le 2^c-k\),\(k\le a_i\le 2^c-1\)）
进行\(k\)次操作，每次选择一个位置给\(a_i-1\)
问\(k\)次操作后，最后异或和为\(x\)的概率为多少
输出\(x\)分别为\(0\sim 2^c-1\)时的答案
\(k,c\le 16\)

做法

求方案数，写成指数多项式的形式。另外对常数项\(x\)，定义\(x^i\times x^j=x^{i\oplus j}\)
\(\begin{aligned} F(z)=\prod\limits_{i=1}^n(\sum\limits_{j=0}^k x^{a_i-k\oplus a_i}\frac{z^j}{j!}) \end{aligned}\)

对\(x\)沃什变换，对每一位单独处理
暴力计算是\(O(2^ck^2n+2^cc)\)的

我们发现，对于序列\(\{b_i=a-i\oplus a\}\)，对于题目给出的限制，最多只有\(192\)种不同的序列
这样直接算是\(O(2^ck^2192)\)的，不过这样还是过不了

有个小优化，对于位置\(i\)，可以把\(\{c_k=i\oplus k\% 2\}\)相同的再压一下，然后用\(k^2\)算某多项式的次幂
然后总共只要算\(1400490\)个不同的多项式
复杂度\(O(1400490k^2)\)