2017 TCO Algorithm New Round 3B hard

题意

给定\(n\times m\)的01矩阵，一对\(1\)能匹配当且仅当在同一行或同一列，一个矩阵合法当且仅当完美匹配且仅有一种方案。可以使矩阵中的\(0\)变成\(1\)，要求变化次数最小使得矩阵合法（可能没有方法时矩阵合法）
\(n,m\le 10\)

做法

将矩阵抽象成二分图
若\(a_{i,j}=1\)，则左边\(i\)点与右边\(j\)点有连边

若有环则显然不合法
进一步的，合法的充要条件为每棵树的边为偶数，且从叶子节点往上仅有一种方法使相邻边匹配

对于森林，可以\(O(n+m)\)判断是否合法
显然最优解不会给一个点加两条边

可以\(O(2^{n+m})\)枚举给每个点加的边\(\{a\}\)，这里加的边是算到匹配里面的
也就是若加入边\((u,v)\)，那么\(u,v\)不会在一棵树种，将匹配算到\(v\)里面树中，那么枚举给点加边时\(a_v=1\)，\(a_u\)不会由于这条边而变化

显然若一个点本来没有边，那么\(a\)会为\(0\)
还要判断一下\(\{a\}\)是否会形成环，先给空点匹配，再给树之间匹配