CF1194F

题意

总共有\(T\)秒时间，有\(n\)个事件，给定\(t_i\)，等概率花费\(t_i~or~t_{i}+1\)，事件得一件一件做。求期望完成事件的个数

做法一

令\(f_i\)为至少完成\(i\)件事的概率
\(ans=\sum i\times(f_{i}-f_{i+1})=\sum f_i\)
令\(g_{i,j}\)为前\(i\)次事件，有\(j\)次是\(t_{x}+1\)的概率，\(g_{i,j}=2^{-i}{i\choose j}\)；令\(sum_i=\sum\limits_{j=1}^i t_i\)
\(f_i=\sum\limits_{j=0}^{min(i,T-sum_i)} g_{i,j}=2^{-i}\sum\limits_{j=0}^{min(i,T-sum_i)}{i\choose j}=2^{-i}\sum\limits_{j=0}^{T-sum_i}{i\choose j}\)
\(T-sum_i\)是单调下降的，有：\(\sum\limits_{j=0}^{m}{n+1\choose j}= \sum\limits_{j=0}^{m}{n\choose j}\times 2-{n\choose m}\)，可以递推

做法二

考虑每件事有多少概率被选上，最后推出来的式子是一样的