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假设最后以 $i$ 为根的树大小为 $a_i$，第 $i$ 个加入的点，加入的树是第 $b_i$ 棵。

首先考虑给定一个 $\{b_n\}$，求这个序列出现的概率。
则概率为 $\prod_{i=1}^d \frac{\sum_{j=1}^i[b_i=b_j]}{n+i-1}$。
考虑枚举每一种 $b_i$，则答案为 $\frac{(n-1)!}{(n+d-1)!}\prod_{i=1}^d\prod_{j=1}^{cnt_i}j=\frac{(n-1)!}{(n+d-1)!}\prod_{i=1}^ncnt_i!$，其中 $cnt_i$ 为 $i$ 在 $\{b_n\}$ 中的出现次数。

考虑给定一个 $\{a_n\}$，求这个最终序列的出现概率为 $\frac{d!}{\prod (a_i-1)!}\times\frac{(n-1)!}{(n+d-1)!}\times\prod (a_i-1)!=\frac{1}{\binom{n+d-1}{n-1}}$。即对于每一种 $\{a_n\}$ 出现概率均相同。

则答案等于 $\frac{\sum_{\sum a_i=n+d}{\sum_{i=1}^rkth_i\{a_n\}}}{\binom{n+d-1}{n-1}}$。

$$\sum_{\{a_n\}}\sum_{i=1}^rkth_i\{a_n\}$$
$$=\sum_{\{a_n\}}\sum_{i=1}^r\sum_{j=0}^d[\sum[a_x>j]\geq i]$$
$$=\sum_{i=0}^d\sum_{j=1}^n\min(j,r)\times\sum_{\{a_n\}}[\sum[a_x>i]=j]$$

设 $f_{i,j}=\sum_{\{a_n\}}[\sum[a_x>i]=j]$，$g_{i,j}$ 表示钦定 $j$ 个位置的 $a_x>i$ 的方案数。
则有
$$g_{i,j}=\binom nj\binom {n+d-1-i*j}{n-1}$$
$$g_{i,j}=\sum_{k=j}^n\binom kjf_{i,k}$$
二项式反演，得
$$f_{i,j}=\sum_{k=j}^n\binom kj(-1)^{k-j}g_{i,k}$$
$$=\sum_{k=j}^n\binom kj(-1)^{k-j}\binom nk\binom{n+d-1-i*k}{n-1}$$
代入原式，得
$$\sum_{\{a_n\}}\sum_{i=1}^rkth_i\{a_n\}$$
$$=\sum_{i=0}^d\sum_{j=1}^n\min(j,r)\sum_{k=j}^n\binom kj(-1)^{k-j}\binom nk\binom{n+d-1-i*k}{n-1}$$
$$=\sum_{k=1}^n\binom nk(-1)^k\left(\sum_{j=1}^k\binom kj(-1)^j\min(j,r)\right)\left(\sum_{i=0}^d\binom{n+d-1-i*k}{n-1}\right)$$
考虑两部分分别计算
第二部分可以处理出所有 $\binom{n+d-1-x}{n-1}(x\leq d)$，然后使用高维前缀和计算 $O(n\log\log n)$ 即可。

$$\sum_{j=1}^k\binom kj(-1)^j\min(j,r)$$

令 $r'=min(r,k)$

$$=\sum_{j=0}^{r'}\binom kj(-1)^jj+r'\sum_{j=r'+1}^{k}\binom kj(-1)^j$$

$$=-k\sum_{j=1}^{r'}\binom {j-k-1}{j-1}+r'\sum_{j=r'+1}^{k}\binom kj(-1)^j$$

$$=-k\sum_{j=0}^{r'-1}\binom{j-k}{j}+r'\left(\sum_{j=0}^k\binom kj(-1)^j-\sum_{j=0}^{r'}\binom kj(-1)^j\right)$$

$$=-k\binom{r'-k}{r'-1}-r'\sum_{j=0}^{r'}\binom{j-k-1}{j}$$

$$=-k\binom{r'-k}{r'-1}-r'\binom{r'-k}{r'}$$

$$=(-1)^{r'}k\binom{k-2}{r'-1}-(-1)^{r'}r'\binom{k-1}{r'}$$

$$=(-1)^{r'}k\binom{k-2}{r'-1}-(-1)^{r'}(k-1)\binom{k-2}{r'-1}$$

$$=(-1)^{r'}\binom{k-2}{r'-1}$$

单个 $O(1)$ 计算即可