BZOJ2004 HNOI2010公交线路（状压dp+矩阵快速幂）

　　由数据范围容易想到矩阵快速幂和状压。

　　显然若要满足一辆公交车的相邻站台差不超过p，则每相邻p个站台中每辆车至少经过一个站台。可以发现这既是必要的，也是充分的。

　　开始的时候所有车是相邻的。考虑每次把一辆公交车塞到前方第一个未到达的站台。这个时候公交车之间是没有区别的，因为只要保证每相邻p个站台每辆车都出现也即有k辆车就可以了。

　　于是设f[i][j]为i-p+1~i的车站停靠状况为j的方案数。并且表示i站台状况的这一位必为1，j中一共有k个1。于是状态数至多有C(9,4)=126种。转移比较显然，只要由这个状态开一辆车能到下个状态就可以了。

　　每次转移都是相同的，那么矩阵快速幂即可。

 

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
#define P 30031
#define N 130
struct matrix
{
    int n,a[N][N];
    matrix operator *(const matrix&b) const
    {
        matrix c;c.n=n;
        for (int i=0;i<n;i++)
            for (int j=0;j<b.n;j++)
            c.a[i][j]=0;
        for (int i=0;i<n;i++)
            for (int j=0;j<b.n;j++)
                for (int k=0;k<b.n;k++)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%P;
        return c;
    }
}f,d;
int n,k,p,id[N],m;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj2004.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2004.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d";
#else
    const char LL[]="%lld";
#endif
    n=read(),k=read(),p=read();
    for (int i=1<<p-1;i<(1<<p);i++)
    {
        int t=i,cnt=0;
        while (t) cnt+=t&1,t>>=1;
        if (cnt==k) id[m++]=i;
    }
    d.n=m;
    for (int i=0;i<m;i++)
        for (int j=0;j<m;j++)
        {
            int x=(id[j]&(1<<p-1)-1)<<1^id[i];
            if (x==(x&-x)) d.a[i][j]=1;
        }
    f.n=1;
    f.a[0][m-1]=1;
    n-=k;
    while (n)
    {
        if (n&1) f=f*d;
        n>>=1;
        d=d*d;
    }
    cout<<f.a[0][m-1];
    return 0;
}