BZOJ3625 [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树（生成函数+多项式开根）

　　设f(n)为权值为n的神犇二叉树个数。考虑如何递推求这个东西。

　　套路地枚举根节点的左右子树。则f(n)=Σf(i)f(n-i-c_j)，c_j即根的权值。卷积的形式，c_j也可以通过卷上一个多项式枚举。可以考虑生成函数。

　　设F(x)为f(n)的生成函数，G(x)为c(n)的生成函数，G(x)中含有x^a项表示存在c_i=a。于是可得F(x)=F²(x)G(x)+1。+1是因为枚举根的权值时没有考虑空树即根没有权值的情况。

　　可以解出F(x)={1±√[1-4G(x)]}/2G(x)=2/{1±√[1-4G(x)]}。由F(0)=1，G(0)=0，可得F(x)=2/{1+√[1-4G(x)]}。

　　于是求出来这个就好了。需要一个多项式开根和多项式求逆，原理类似，有B(x)=(A(x)+B'(x)²)/2B'(x)。多项式开根的常数项原本是需要求二次剩余的，不过显然在这里其常数项为1。

　　各种数组混用没清零调了好长时间。并且开始写丑到一个境界以至于要开八倍数组。虽然改成了开四倍还是在bzoj上t掉了。辣鸡板子活该t。

 

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
#define N 550000
#define P 998244353
#define inv3 332748118
int n,m,a[N],b[N],c[N],d[N],e[N],r[N];
int ksm(int a,int k)
{
    if (k==0) return 1;
    int tmp=ksm(a,k>>1);
    if (k&1) return 1ll*tmp*tmp%P*a%P;
    else return 1ll*tmp*tmp%P;
}
void DFT(int n,int *a,int p)
{
    for (int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|(i&1)*(n>>1);
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for (int i=2;i<=n;i<<=1)
    {
        int wn=ksm(p,(P-1)/i);
        for (int j=0;j<n;j+=i)
        {
            int w=1;
            for (int k=j;k<j+(i>>1);k++,w=1ll*w*wn%P)
            {
                int x=a[k],y=1ll*w*a[k+(i>>1)]%P;
                a[k]=(x+y)%P,a[k+(i>>1)]=(x-y+P)%P;
            }
        }
    }
}
void mul(int n,int *a,int *b)
{
    DFT(n,a,3),DFT(n,b,3);
    for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
    DFT(n,a,inv3);DFT(n,b,inv3);
    int inv=ksm(n,P-2);
    for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%P,b[i]=1ll*b[i]*inv%P;
}
void inv(int n)
{
    int t=1;
    for (int i=0;i<=n;i++) e[i]=a[i],a[i]=d[i]=0;
    a[0]=ksm(e[0],P-2);
    while (t<=n)
    {
        t<<=1;
        for (int i=0;i<t;i++) d[i]=e[i];
        t<<=1;
        mul(t,d,a);
        for (int i=0;i<(t>>1);i++) d[i]=(P-d[i])%P;
        for (int i=(t>>1);i<t;i++) d[i]=0;
        d[0]=(d[0]+2)%P;
        mul(t,a,d);
        for (int i=(t>>1);i<t;i++) a[i]=0;
        t>>=1;
    }
    for (int i=n+1;i<t;i++) a[i]=0;
}
void Sqrt(int n)
{
    int t=1;
    memcpy(b,a,sizeof(b));
    memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;
    while (t<=n)
    {
        t<<=1;
        for (int i=0;i<t;i++) c[i]=a[i];
        t<<=1;
        mul(t,c,a);
        for (int i=0;i<(t>>1);i++) c[i]=(c[i]+b[i])%P;
        for (int i=(t>>1);i<t;i++) c[i]=0;
        for (int i=0;i<(t>>1);i++) a[i]=(a[i]<<1)%P;
        inv(t-1);
        for (int i=(t>>1);i<t;i++) a[i]=0;
        mul(t,a,c);
        for (int i=(t>>1);i<t;i++) a[i]=0;
        t>>=1;
    }
    for (int i=n+1;i<t;i++) a[i]=0;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj3625.in","r",stdin);
    freopen("bzoj3625.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d";
#else
    const char LL[]="%lld";
#endif
    n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) b[a[i]]=P-4;
    b[0]=1;
    memcpy(a,b,sizeof(a));
    Sqrt(m);
    a[0]++;if (a[0]>=P) a[0]-=P;
    inv(m);
    for (int i=1;i<=m;i++) a[i]=(a[i]<<1)%P;
    for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",a[i]);
    return 0;
}