BZOJ2752:[HAOI2012]高速公路(road)
Description
Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?
Input
第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N
Output
对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1
Sample Input
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4
Sample Output
8/3
17/6
HINT
所有C操作中的v的绝对值不超过10000
在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数
所有测试点的详细情况如下表所示
Test N M
1 =10 =10
2 =100 =100
3 =1000 =1000
4 =10000 =10000
5 =50000 =50000
6 =60000 =60000
7 =70000 =70000
8 =80000 =80000
9 =90000 =90000
10 =100000 =100000
题解：
要维护、求解在某个区间内随机选取区间的期望权值和，我们可以采用线段树。
对于一个线段树节点，维护这几个参数：区间和sum、前缀和的前缀和qz、后缀和的后缀和hz、该区间的期望ans、区间长度len。
合并区间时，
ans[x]=ans[l]+ans[r]+hz[l]*len[r]+qz[r]*len[l];
qz[x]=qz[l]+qz[r]+tot[l]*len[r]; hz[x]:=hz[l]+hz[r]+tot[r]*len[l];
sum[x]=sum[l]+sum[r]; len[x]=len[l]+len[r];
我们还要预处理出在长度为len的区间中随机选取区间时，期望选中几个点，用来实现区间增值的lazy标记。
代码：
1 type 2 arr=array[0..3]of int64; 3 var 4 i,n,m,cnt:longint; 5 j,k,l:int64; 6 ans:array[0..200001]of arr; 7 t:array[0..200001,-2..2]of longint; 8 bs:array[0..200001]of int64; 9 tot,ans1,ans2,ans3:int64; 10 ch:char; 11 procedure build(l,r,fa:longint); 12 var x:longint; 13 begin 14 inc(cnt); x:=cnt; t[x,1]:=l; t[x,2]:=r; 15 if t[fa,1]=t[x,1] then t[fa,-1]:=x else t[fa,-2]:=x; 16 if l=r then exit; 17 build(l,(l+r)div 2,x); build((l+r)div 2+1,r,x); 18 end; 19 procedure down(x:longint); 20 var y:int64; 21 l,r,ll,rr:int64; 22 begin 23 y:=t[x,0]; l:=t[x,-1]; r:=t[x,-2]; t[x,0]:=0; 24 if y=0 then exit; 25 if l>0 then 26 begin 27 t[l,0]:=t[l,0]+y; ans[l,3]:=ans[l,3]+(t[l,2]-t[l,1]+1)*y; 28 ans[l,0]:=ans[l,0]+bs[(t[l,2]-t[l,1]+1)]*y; 29 ll:=t[l,1]; rr:=t[l,2]; 30 ans[l,1]:=ans[l,1]+((rr-ll+1+1)*(rr-ll+1)div 2)*y; 31 ans[l,2]:=ans[l,2]+((rr-ll+1+1)*(rr-ll+1)div 2)*y; 32 end; 33 if r>0 then 34 begin 35 t[r,0]:=t[r,0]+y; ans[r,3]:=ans[r,3]+(t[r,2]-t[r,1]+1)*y; 36 ans[r,0]:=ans[r,0]+bs[(t[r,2]-t[r,1]+1)]*y; 37 ll:=t[r,1]; rr:=t[r,2]; 38 ans[r,1]:=ans[r,1]+((rr-ll+1+1)*(rr-ll+1)div 2)*y; 39 ans[r,2]:=ans[r,2]+((rr-ll+1+1)*(rr-ll+1)div 2)*y; 40 end; 41 end; 42 function up(a,b:arr;x,y:longint):arr; 43 begin 44 up[0]:=a[0]+b[0]+a[2]*y+b[1]*x; 45 up[1]:=a[1]+b[1]+a[3]*y; up[2]:=a[2]+b[2]+b[3]*x; 46 up[3]:=a[3]+b[3]; 47 end; 48 function qq(x,l,r:longint):arr; 49 var ll,rr:int64; 50 begin 51 down(x); 52 ll:=t[x,1]; rr:=t[x,2]; 53 if(ll=l)and(rr=r)then exit(ans[x]); 54 if r<=(ll+rr)div 2 then exit(qq(t[x,-1],l,r)); 55 if l>(ll+rr)div 2 then exit(qq(t[x,-2],l,r)); 56 exit(up(qq(t[x,-1],l,(ll+rr)div 2),qq(t[x,-2],(ll+rr)div 2+1,r), 57 (ll+rr)div 2-l+1,r-(ll+rr)div 2)); 58 end; 59 procedure add(x,l,r:longint;y:int64); 60 var ll,rr:int64; 61 begin 62 down(x); 63 ll:=t[x,1]; rr:=t[x,2]; 64 if(ll=l)and(rr=r)then 65 begin 66 ans[x,0]:=ans[x,0]+bs[(rr-ll+1)]*y; ans[x,3]:=ans[x,3]+(rr-ll+1)*y; 67 ans[x,1]:=ans[x,1]+((rr-ll+1+1)*(rr-ll+1)div 2)*y; 68 ans[x,2]:=ans[x,2]+((rr-ll+1+1)*(rr-ll+1)div 2)*y; 69 t[x,0]:=y; exit; 70 end; 71 if r<=(ll+rr)div 2 then add(t[x,-1],l,r,y)else 72 if l>(ll+rr)div 2 then add(t[x,-2],l,r,y)else 73 begin 74 add(t[x,-1],l,(ll+rr)div 2,y); 75 add(t[x,-2],(ll+rr)div 2+1,r,y); 76 end; 77 ans[x]:=up(ans[t[x,-1]],ans[t[x,-2]],(ll+rr)div 2-ll+1,rr-(ll+rr)div 2); 78 end; 79 function gcd(x,y:int64):int64; 80 begin 81 if x=0 then exit(y); 82 exit(gcd(y mod x,x)); 83 end; 84 begin 85 readln(n,m); dec(n); 86 build(1,n,0); 87 for i:=1 to n do 88 begin 89 tot:=tot+i; 90 bs[i]:=bs[i-1]+tot; 91 end; 92 //for i:=1 to n do writeln(bs[i]); 93 for i:=1 to m do 94 begin 95 read(ch); 96 case ch of 97 'C':begin readln(j,k,l); dec(k); add(1,j,k,l); end; 98 'Q':begin 99 readln(j,k); dec(k); 100 ans1:=qq(1,j,k)[0]; ans2:=(k-j+2)*(k-j+1)div 2; 101 ans3:=gcd(ans1,ans2); 102 writeln(ans1 div ans3,'/',ans2 div ans3); 103 end; 104 end; 105 end; 106 end.
