「学习笔记」伯努利数与自然数幂和

伯努利数

伯努利数是由如下隐式递推关系确定的一个数列

\[\begin{aligned}\\\sum_{i=0}^{m}{\binom{m+1} i}B_i=[m=0],\end{aligned} \]

改写上式得

\[\sum_{i=0}^{m}\frac{B_i}{i!}\frac{1}{(m-i)!}=\frac{[m=1]}{m!}+\frac{B_m}{m!}, \]

设伯努利数的 EGF 为 \(B(x)\)，那么

\[B(x)e^x=x+B(x), \]

解得

\[B(x)=\frac{x}{e^x-1}. \]

自然数幂和

定义 \(0^0=1\)，并设

\[S_m(n)=\sum_{i=0}^{n-1}i^m, \]

我们断言

\[S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum_{i=1}^{m+1}{\binom {m+1}i}B_{m+1-i}n^i, \]

为此我们考虑 \(S_m(n)\) 的 EGF

\[\begin{aligned}\sum_{i\ge 0}\frac{S_m(n)x^m}{m!}&=\sum_{m\ge 0}\frac{x^m}{m!}\sum_{i=0}^{n-1}i^m\\&=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{m\ge 0}\frac{x^mi^m}{m!}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}e^{xi}\\&=\frac{e^{nx}-1}{e^x-1},\end{aligned} \]

发现最后那个分式和伯努利数的 EGF 有点像，我们把它写成

\[\frac{e^{nx}-1}{e^x-1}=\frac{x}{e^x-1}×\frac{e^{nx}-1}{x}, \]

这样又可以推了

\[\sum_{i\ge 0}\frac{S_i(n)x^i}{i!}=\sum_{i\ge 0}\frac{B_ix^i}{i!}\sum_{i\ge 0}\frac{n^{i+1}x^{i}}{(i+1)!}, \]

提取一下系数

\[\begin{aligned}\left[\frac{x^m}{m!}\right]\sum_{i\ge 0}\frac{S_i(n)x^i}{i!}&=m!\sum_{i=0}^m\frac{B_i}{i!}\frac{n^{m+1-i}}{(m+1-i)!}\\&=\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m{\binom {m+1} i}B_in^{m+1-i}\\&=\frac{1}{m+1}\sum_{i=1}^{m+1}{\binom {m+1} i}B_{m+1-i}n^i,\end{aligned} \]

即

\[S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum_{i=1}^{m+1}{\binom {m+1} i}B_{m+1-i}n^i. \]