CF1740F Conditional Mix 笔记

找性质再计数的题目。

题意可以简化成，有 \(n\) 个盒子，往每个盒子里放球，其中盒子内不能有同色球，要求「盒子内球数」\(M_{1\dots n}\) 的组合的个数。

由于是组合，因此我们钦定一种顺序，令 \(M_i\ge M_{i+1}\) 进行计数。

感性理解一下这个过程，相当于对于同一种颜色的 \(k\) 个球，我们把它放进 \(k\) 个不同的盒子里，那么按照钦定的顺序，我们把所有球尽量往前放，可以得到在这种情况下，第 \(i\) 个盒子最多能放的球数 \(\lim_i\)。

此时第 \(i\) 个盒子存在一些球第 \(i+1\) 个盒子中没有，我们把这些球从第 \(i\) 个盒子中拿出来放进第 \(i+1\) 个盒子就可以构成一种新的组合，因此得出结论，合法的 \(M\) 满足：

\[\forall i,\sum_{j\le i}\mathrm{lim}_j\ge \sum_{j\le i}M_j\wedge M_{i}\ge M_{i+1} \]

得到这个条件我们就可以 DP 了，设 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑 \(M_{1\dots i}\)，\(j=\sum_{j'\le i}M_{j'}\)，\(M_i=k\) 的方案数，转移

\[f_{i,j,k}\gets\sum_{l\ge k} f_{i-1,j-k,l} \]

\(\sum\) 用后缀和优化，可以发现根据定义，\(k\le \left\lfloor n\div i\right\rfloor\)，因此总状态数是 \(O(n^2\ln n)\)，转移 \(O(1)\)，时间复杂度 \(O(n^2\ln n)\)，空间复杂度可以把第一维滚掉变成 \(O(n^2)\)。