CF1799G Count Voting 笔记

容斥好题。

发现本题限制有点多，其中棘手的是不能投给自己阵营的人，不然考虑每个人投给了谁，最终答案就是一个可重集的排列数。

于是考虑容斥，考虑求出至少有 \(i\) 人投给了自己阵营的人的方案数。

那么可以做背包，设 \(f_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 组，至少有 \(j\) 人投给了自己组，设 \(g(i,k)\) 表示第 \(i\) 组至少有 \(k\) 人投给自己组的方案数，\(d_i\) 表示第 \(i\) 组有几个人，则有

\[f_{i,j}=\sum_{k}^{\min(j,d_i)}f_{i-1,j-k}\times g(i,k) \]

于是问题在于求 \(g(i,k)\)，显然这个和组外无关，于是考虑第 \(p\) 组，可以设 \(g_{i,j}\) 表示考虑组内前 \(i\) 个人，至少有 \(j\) 个人投给了自己阵营的方案数，那么可以拆解成两个部分：投自己投给了谁？投别人投给了谁？

投自己投给了谁是好算的，就是从自己组还没被投的那些人中选若干个出来，即

\[g_{i,j}=\sum_{k}^{\min(j,d_i)}g_{i-1,j-k}\times \binom{d_p-(j-k)}k \]

但是投别人投给了谁？这个不好算，考虑最终的 \(f_{m,j}\)（\(m\) 是组数），如果我们知道第 \(i\) 组有 \(a_i\) 个人投给了自己组（\(\sum a_i=j\)），那么就可以用可重集排列数：

\[\frac{(n-j)!}{\prod(c_i-a_i)!} \]

DP 无法支持记录 \(a_i\) 到结束，但是发现分子和第 \(i\) 组无关，于是考虑 DP 的时候只记录分母的部分，那么转移方程就变成了

\[g_{i,j}=\sum_{k}^{\min(j,d_i)}g_{i-1,j-k}\times \binom{d_p-(j-k)}k\times \frac 1{(c-k)!} \]

并且令最终的 \(f(m,i)\) 乘上 \((n-i)!\)，于是容斥即可。

时间复杂度，实现的好每一部分 DP 都可以 \(n^2\)，但是我感觉算 \(g\) 只能是 \(O(n^3)\) 的，求大佬捶，但是题解都说整体 \(O(n^2)\)。空间复杂度 \(O(n^2)\)。