与括号序列相关的 DP 笔记

括号序列有一种做法，每次从最外层第一对配对的括号进行转移。

即对于区间 \(\texttt{{\color{Red}(}...{\color{Red})}...}\)，从红色的这对括号转移。

1. CF1781F Bracket Insertion

对括号序列合法的定义进行转换：设 \(\texttt (\) 表示 \(+1\)，\(\texttt )\) 表示 \(-1\)，合法的前提是对于每个位置，前缀和 \(\ge 0\)。

于是考虑笔记开头说的转移方式，设 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\) 的区间，第一个位置代表的前缀和为 \(j\) 的方案数。

考虑最终生成的括号序列，最外层的第一对括号。\(\texttt {(*......}\)，因此我们加入的 \(\texttt{()}\) 或 \(\texttt{)(}\) 的第一个位置钦定在 \(\texttt *\)，剩下一个括号在 \(\texttt{\$}\) 中任意放，对于 \(\text{()}\)，变成了

\[\texttt{({\color{Red}(...}{\color{Blue})...}..} \]

的形式，其中红色是左括号统领的，前缀和增加 \(1\)，蓝色是右括号统领的，前缀和不变，可以递归成两个子问题求解，故

\[f_{i,j}\gets\sum_{k1,k2} f_{k_1,j+1}\times f_{k_2,j}\times f_{i-1-k_1-k_2,j}\times p \]

插入 \(\texttt{)(}\) 同理

\[f_{i,j}\gets\sum_{k1,k2} f_{k_1,j-1}\times f_{k_2,j}\times f_{i-1-k_1-k_2,j}\times p \]

状态数 \(O(n^2)\)，转移 \(O(n^2)\)，时间复杂度 \(O(n^4)\)，不能通过。

考虑优化，以第一种转移为例，考虑枚举 \(K=k_1+k_2\)，则有

\[f_{i,j}\gets\sum_{K} f_{i-1-K,j}\times p\times \sum_{k1+k2=K}f_{k_1,j+1}\times f_{k_2,j} \]

后面的 \(\sum\) 做 DP 即可优化到 \(O(n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询。

这里还少考虑了个操作顺序的问题，因为当有多个部分转移过来时，不好处理操作总顺序，但是优化完后我们的代码一直都是从两个部分转移，假设一个部分大小为 \(a\)，另一部分大小为 \(b\)，我们在两个部分中的操作顺序是任意的，所以要乘上 \(\binom{a+b} a\)。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

2. CF888F Connecting Vertices

这个可以看作类括号序列问题，主要的思想还是一样的。

不复制并破环为链不影响答案。根据题意，发现所有的连边一定是包含或相离关系（称 \(1-2\) 与 \(2-3\) 也为相离）。

直接区间 DP 不对，因为和括号序列一样，会在 \(\texttt{()()()}\) 时枚举断点多次转移。

于是考虑钦定最外层第一个配对的位置进行转移，设 \(f_{l,r,0/1}\) 表示考虑区间 \(l\sim r\) 连通，\(l\to r\) 是否直接连边的方案数，设 \(f_{l,r}\gets f_{l,r,0}+f_{l,r,1}\)。初始时 \(f_{i,i,1}\gets1\)。

于是考虑最外层第一个连边，有两种情况：

1. 最外层第一对是 \(l\to r\) 直接连边，于是在 \(l,r\) 中枚举断点转移即可。

\[f_{l,r,1}=\sum_{\mathrm{mid}} f_{l,\mathrm{mid}}\times f_{\mathrm{mid}+1,r} \]

2. 最外层第一对是 \(l\to \mathrm{mid}\)，那么就是两个区间拼起来。

\[f_{l,r,1}=\sum_{\mathrm{mid}} f_{l,mid,1}\times f_{\mathrm{mid,r}} \]

时间复杂度是区间 DP 的 \(O(n^3)\)。