计数杂题 笔记

详细的做法较少，偏向总结性的内容。

1. P3643 [APIO2016] 划艇

由于没有后效性，所以 \(O(na)\) 的暴力 DP 是容易的。

容易发现将 \(a,b\) 离散化后，对区间做 DP 也是一样的。

但是发现 DP 不好转移，根本原因是相邻两个闭区间会相互影响。

于是向左闭右开区间转换，如 \([a,b],[b,c]\to [a,b),[b,b+1),[b+1,c+1)\)。

其实就是对原区间的右端点加一再丢进离散化里即可实现。

2. CF53E Dead Ends

educational's thing：钦定转移顺序可以避免重复计数，比如对于一个状压状态强制只能从最高位转移。

3. P2606 [ZJOI2010] 排列计数

NOIP 2024 T2，ljs 说是 dp，我说一个变量直接数就可以了。

事实上我的想法是愚蠢的，因为前者是一种通用的思考方式，可以优化到后者，我属于跳跃的歪打正着的思考方式。

比如这题，设 \(f_i\) 表示大小为 \(i\) 的树的方案数，因为除了根是最小值，剩下的数字放哪没有必然关联，不能用一条式子直接得出，需要 DP。

于是剩下的数选一些构成左子树，剩下的构成右子树即可，递归成子问题，转移是 \(O(1)\) 的。

4. P3244 [HNOI2015] 落忆枫音

添加限制的题目，先思考减少限制，再思考加限制的影响。

没有加的那条边，很容易想到答案就是每个点都可以任选一条入边作为生成树的入边。

接着考虑加的那条边，其实就是要剔除选择的入边和新边恰好成环的情况，一次 DP 即可。

5. P5204 [USACO19JAN] Train Tracking 2 P

研究一下这些区间，发现有的区间是可以确定某些位置的，如 \(\min a_{[l,r]}<\min a_{[l+1,r+1]}\)，那么就可以确定 \(a_l\) 是前者。

那么现在就被割成了若干个还没确定的区间，可以发现这些区间的每个滑动窗口的值是相等的。问题转换为：求长度为 \(\mathrm{len}\) 的序列，保证每相邻 \(k\) 个数最小值为 \(v\)，的方案数。

于是直接 DP，设 \(f_i\) 表示考虑前 \(i\) 位的答案，每次直接转移，\(f_i\gets f_{i-1}\times (\max-v+1)\)，然后减去从 \(i-k+1\sim i\) 一个 \(v\) 都没选的情况，此时强制了 \(i-k\) 选 \(v\)，所以要从 \(f_{i-k-1}\) 转移。

6. AT_arc058_c [ARC058E] 和風いろはちゃん

直接做显然会算重，并且重复的方式很诡异，思考了之后会发现容斥原理和二项式反演都行不通。

于是正难则反，考虑一个俳句都没出现的方案数。

于是考虑从前往后 DP，但是发现按照题意判定，还要存 \(5-7-5\) 的分割点，状态数就炸了。

因此要思考更方便的判定方式，现在是分割点数太多，就尽量把判定往一个点靠，那么可以判断当前 \(i\) 结尾的前缀和是否同时出现了 \(Z,Y+Z,X+Y+Z\)，出现了就是不合法。

由于 \(X+Y+Z\) 很小，是否出现了这个和直接用状压即可，时间复杂度 \(O(n\times 2^{X+Y+Z}\times 10)\)。

7. AT_arc059_d [ARC059F] バイナリハック

一开始想的设 \(f_{i,j}\) 表示匹配前 \(i\) 个数按 \(j\) 次键，转移就让 \(i\to i+1\)，\(j\to j+k\) 转移，\(j\) 增加的部分可以用类似卡特兰数状物解决，但是思考了一会发现没有前途，只能 \(O(n^3)\)。

于是打开题解就发现了：

可以按 \(j\to j+1\) 的增加来做，这样子 \(i\) 的变化是 \(O(1)\) 的。

所以说一个状态不一定是走错方向的，还要看转移选择的方向对不对。

8. AT_arc203_c [ARC203C] Destruction of Wall

首先转化成从 \((0,0)\to (n,m)\) 方便处理。

\(n+m<k\) 无解，\(n+m=k\) 与 \(n+m+1=k\) 是简单的。

接着是 \(n+m+2=k\)，此时任意多打穿两条路，然后发现在拐点处走出一个正方形的方案会被算重。

于是就想着枚举拐点，发现不可做。

实则可以直接把正方形看成一个整体，那就是要向右走 \(n-1\) 次，向下走 \(m-1\) 次，并挑两步之间插入一个正方形，这样是简单的。

最后还有一种走 S 形的情况，即返祖，同理把返祖的

  ---
  |
---

  |
|-|
|

两个部分看成一个整体，那么针对第一种情况，就是要向右走 \(a=n-2\) 步，向下走 \(b=m+1\) 步，还有一个条件是插入这个结构时必须已经向下走过，如何解决？先不考虑这个限制求出方案数，即 \(\binom {a+b+1} a\times (b+1)\)，后面那个是选择结构放哪，然后强制把结构放到第一个向下走的前面，把结构视作向下走的求方案数即可。