浅谈必修1的函数

[Math]Review:函数(BX1)

@Author:GBWANG7786

1.1 函数的相关概念

1.定义域:自变量的取值范围

2.值域:函数值的取值范围

举个例子
$$
f(x) = x^2+2x+1
$$
此时 我们已知这个函数为二次函数

所以 这个函数的值域集合A 和 定义域集合B

易求
$$
A = \lbrace x|x \ge 0 \rbrace\
B = \lbrace x|x \in R\rbrace
$$

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1.2 取整函数

对于一个函数$f(x)$来说 我们有3种表示取整函数的方法

1.向上取整$\lceil x \rceil$ :对一个数向上取整

即:$\lceil x \rceil= x,mod ,10 + 1$

2.向下取整$\lfloor x \rfloor$ :对一个数向下取整

即:$\lfloor x \rfloor= x,mod ,10 - 1$

3.取整函数:对一个数取整

即:$[x]= x,mod ,10$

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1.3 函数的单调性

1.增函数(单调递增):一般的 对于一个函数$f(x)$ 有$x_1 < x_2$ 且$f(x_1) <f(x_2)$ 那么我们就说$f(x)$是增函数

2.减函数(单调递减):一般的 对于一个函数$f(x)$ 有$x_1 < x_2$ 且$f(x_1) >f(x_2)$ 那么我们就说$f(x)$是减函数

3.增减函数的证明方法:定义法证明

​ 做题时设$x_1<x_2$ 去求$f(x_1) - f(x_2)$ 关于 $0$ 的大小关系

​ 设$F(x) = f(x_1) - f(x_2)$ 则函数的增减性 则$F(x)$必然满足如下条件:
$$
F(x)
\begin{cases}
F(x),is,a,increasing,function\quad if,F(x) < 0 ; and; x_1 < x_2\
F(x),is,a,decreasing,function\quad if,F(x) > 0; and ; x_1 < x_2\
\end{cases}
$$

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1.4函数的奇偶性

1.奇函数:图像关于原点对称的 即$f(x) + f(-x) = 0 ;\Rightarrow;f(x) = -f(-x)$

2.偶函数:图像关于$y$轴对称的 即$f(x) = f(-x)$

3.函数具有奇偶性的充要条件是:

​ 对于函数$f(x)$必然满足:函数的自变量$x$的定义域关于原点对称 否则这个函数就不是奇函数或者偶函数

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1.5函数的变化率

1.使用条件和公式:对于函数$f(x)$,设其定义域所在的集合为$I$,$\forall x_1,x_2\in I$,则有:$\frac{\triangle x}{\triangle y}, = \frac{f(x_2-f(x_1))}{x_2-x_1}$

2.变化率和增减性的关系:设$\frac{\triangle x}{\triangle y} = K(x)$ 则必然满足如下条件
$$
K(x)
\begin{cases}
K(x),is,a,increasing,function\quad if, K(x) > 0; and;\forall x_1,x_2\in I\
K(x),is,a,decreasing,function\quad if, K(x) < 0; and;\forall x_1,x_2\in I
\end{cases}
$$****