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Tarjan强连通分量(scc)

概念解释

  1. 节点强连通\(v_i\)\(v_j\)(\(v_i ≠ v_j\))强连通是指从\(vi\)\(vj\)和从\(vj\)\(vi\)都存在路径,即两节点互相可达

  2. 强连通图:在有向图\(G\)中,对于每一对\(v_i、v_j\)\(v_i ≠ v_j\),从\(v\)i\(到\)v_j\(和从\)v_j\(到\)v_i$都存在路径,则称G是强连通图。即任意两个节点强连通的有向图

  3. 强连通分量:有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。对于“极大”一词,我的理解是如果有向图中某部分是强连通的,再加入其它任何节点都将使得该部分变为非强连通,则此部分为原图的一个极大强连通子图

算法作用

可以将有向有环图转化为有向无环图(拓扑图-DAG图)。使得原始图具有拓扑图的种种性质,例如在拓扑图中使用递推可以在线性时间内解决一些最短路(最长路问题)

算法思想

缩点:Tarjan将有环图转化为无环图就是将每一个\(scc\)看作一个点,即所谓的缩点。但缩点并非特意需要代码实现,只是一种概念上的存在,原图在存在形式上仍为一个个独立的点,但我们可以根据不同点的\(scc_id\)值,人为将这些点进行分类,从而将具有相同属性的点划分为一个集合,即实现了缩点操作。

进行一次Tarjan要达成的目标是:1.确定图上任意一点所属的scc编号 2.确定每个scc包含节点的个数

Tarjan求解强连通分量采用了\(DFS\)的搜索顺序,搜索到每一个点时都有一个时间,采用\(dfn[i]\)表示搜索到节点\(i\)时的时间
在一个\(scc\)中,一定有一个\(dfn\)最小的点,即最先被搜素到的点,该\(scc\)中除该点以外的点通过环路可以走到的最小\(dfn\)编号记为\(low[i]\)

Tarjan求scc的过程因为使用栈,存在递归和回溯,所以较难说清它的思考流程,只能是参照代码,理解其中各个数组的含义,学会使用即可。

Tarjan求解强连通分量主要依托的就是以上两个标记数组。我们思考在图的搜索过程中,如何判断出现了环路。在DFS的搜索过程中,每当我们搜索到一点,就会将该点入栈保存现场进行递归搜索其子节点,如果我们在搜索过程中遇到了一个栈中的节点,此时就形成了一个环路。使用栈仅能够判断是否存在环路,无法达成目标,\(dfn\)\(low\)的作用是标记一个节点被搜索到的顺序和它在scc中实际能走到的点的最小编号,如果搜索节点b的相邻节点时,遇到了栈中的节点a,一定满足\(dfn[a] < dfn[b]\),low[b]也应当由dfn[b]更新为dfn[a],这类节点满足\(dfn != low\)。如果某个节点c的\(dfn == low\),说明从它不能走到编号更小的节点了,即它就是一个scc中编号最小的节点,同属于该scc的节点因为不满足\(dfn == low\),所以都仍处于栈中,此时开始弹栈直到将c弹出,这些弹出的即为同一个scc中的节点,弹出时标记其所属scc编号和累加对应scc节点个数计数器即可

\(DFS\)搜索需要用到栈\(stk\)
\(in_stk[i]\)用来标记点\(i\)当前是否处于栈中
\(Size[i]\)用来记录编号为\(i\)\(scc\)中点的数量

语言描述起来有些混乱,B站有个讲的不错的视频见下

代码实现

代码中else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);,为什么用\(dfn[j]\)而非\(low[j]\)还尚不清楚,在Tarjan's SCC : example showing necessity of lowlink definition and calculation rule?中给出的理由是使用\(low[j]\)就会破坏了\(low\)数组的含义,但我觉得恰恰相反,所以这个问题待定

void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
    stk.push(u), in_stk[u] = true;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j])
        {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[j], low[u]);
        }
        else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }
    if (dfn[u] == low[u])
    {
        do {
            int t = stk.top(); stk.pop();
            id[t] = scc_cnt;
            in_stk[t] = false;
            ++ Size[scc_cnt];
        } while (t != u);

        // ++ scc_cnt;
        // int t = stk.top(); stk.pop();
        // id[t] = scc_cnt;
        // in_stk[t] = false;
        // ++ Size[scc_cnt];
        // while (t != u)
        // {
        //     t = stk.top(); stk.pop();
        //     id[t] = scc_cnt;
        //     in_stk[t] = false;
        //     ++ Size[scc_cnt];
        // }
    }
}
posted @ 2021-09-13 00:06  0x7F  阅读(11)  评论(0编辑  收藏  举报