KMP
KMP
Border的性质
若 \(T\) 为 \(S\) 的周期，则 \(|S| - T\) 为 \(S\) 的 Border
周期定理：若p, q均为串 \(S\) 的周期，则 (p,q) 也为 \(S\) 的周期
一个串的 Border 数量时 \(O(N)\) 个，但他们组成了 \(O(\log N)\) 个等差数列
KMP推广
exKMP，aka Z算法
KMP自动机，Border树
AC自动机 KMP 多串模式（字典）
Trie图 KMP多串
模板
luogu模板题
const int N = 1e6 + 5;
char s1[N], s2[N];//文本串，匹配串
int nxt[N];
/*
kmp算法原理
首先进行一个匹配
1.如果当前字符和模式串的当前字符匹配
双指针各自前进一位
2.如果当前字符和模式串的当前字符失配
模式串移动到前一位的最大border
3.
*/
void getnext(char *s,int len){
for (int i = 2; i <= len; i++) {
int j = nxt[i - 1];
while (j != 0 && s[j + 1] != s[i])
j = nxt[j];
if (s[j + 1] == s[i])
nxt[i] = j + 1;
else
nxt[i] = 0;
}
}
void kmp(char* t,char* s,int len1,int len2){
for (int i = 1, j = 0; i <= len1; i++) {
while (j != 0 && s[j + 1] != t[i])
j = nxt[j];
if (t[i] == s[j + 1])
j++;
if (j == len2) {
// ans.push_back(i - len2 + 1);
printf("%d\n",i-len2+1);
j = nxt[j];
}
}
}
int main() {
scanf("%s", s1 + 1);
scanf("%s", s2 + 1);
nxt[1] = 0;
int n = strlen(s1 + 1), m = strlen(s2 + 1);
getnext(s2,m);
kmp(s1,s2,n,m);
// for (auto v : ans)
// printf("%d\n", v);
for (int i = 1; i <= m; i++)
printf("%d ", nxt[i]);
return 0;
}
例题
差分
一个长度为n的数列A，一个长度为m的数列B，现在询问A中有多少个长度为m的连续子序列A'，
满足\((a'1+b1)\mod k = (a'2+b2)\mod k = \dots = (a'm + bm)\mod k\).
两两相减得
\[(a'1-a'2)\mod k = -(b1-b2)\mod k
\]
\[(a'2-a'3)\mod k = -(b2-b3)\mod k
\]
原问题等价于，先对 \(A\) 和 \(B\) 分别作差取模，匹配差分串 \(A'\) 和差分串 \(B'\)
while (T--) {
cin >> l1 >> l2 >> k;
for(int i=1;i<=l1;i++) cin>> t[i];
for(int i=1;i<l1;i++) t[i] = (k + t[i]%k - t[i+1]%k)%k;
for(int i=1;i<=l2;i++) cin>> s[i];
for(int i=1;i<l2;i++) s[i] = (k - s[i]%k + s[i+1]%k)%k;
l1--,l2--;
getnext(s);
cout<<kmp(t,s)<<endl;
}
子串乘积
定义 \(f(s,t) = t\) 的子串中，与 \(s\) 相等的串的个数。如 \(f("ac","acacac")=3\),\(f("bab","babab")=2\)。
现在给出 \(n\) 个字符串，第 \(i\) 个字符串为 \(s_i\)，对 \(\forall 1 \leq i \leq n\)，求出 \(\prod_{j=1}^n {f(s_i,s_j)}\)
首先，除了最短的串，其他串的答案一定是零
如果有多个最短串，且最短串之间存在不同的串，那么答案也为零
因此只需要拿一个最短串和其他所有串做匹配，可以在 \(O(n)\) 内解决本题。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define int ll
const int N = 2e6 + 6;
const int mod = 998244353;
using namespace std;
vector<string> str;
int n, nxt[N], len[N];
void getnext(string& s, int len) {
for (int i = 2; i <= len; i++) {
int j = nxt[i - 1];
while (j != 0 && s[j + 1] != s[i])
j = nxt[j];
if (s[j + 1] == s[i])
nxt[i] = j + 1;
else
nxt[i] = 0;
}
}
int kmp(string& t, string& s, int len1, int len2) {
int tmp = 0;
for (int i = 1, j = 0; i <= len1; i++) {
while (j != 0 && s[j + 1] != t[i])
j = nxt[j];
if (t[i] == s[j + 1])
j++;
if (j == len2) {
tmp++;
j = nxt[j];
}
}
return tmp;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin >> n;
string s;
int mlen = N;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> s;
len[i] = s.length();
s = "#" + s;
str.push_back(s);
mlen = min(mlen, len[i]);
}
vector<string> mn;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (len[i] == mlen) {
mn.push_back(str[i]);
}
}
getnext(mn[0], mlen);
// mlen--;
int flag = 1;
// cout<<mlen<<endl;
for (int i = 1; i < mn.size(); i++) {
if (!kmp(mn[i], mn[0], mlen, mlen)) {
flag = 0;
break;
}
}
ll ans = 1;
if (flag) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
int tmp = kmp(str[i], mn[0], len[i], mlen);
ans *= tmp;
ans %= mod;
// cout<<len[i]<<" "<<mlen<<endl;
// cout << i << " " << tmp << endl;
}
}
// cout<<(flag?1:-1)<<": "<<ans<<endl;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (flag && len[i] == mlen) {
cout << ans << endl;
} else
cout << 0 << endl;
}
return 0;
}
子串个数
给两个串 \(T, S\)，问 \(T\) 有多少个子串中包含 \(S\)。
可以容斥，首先 kmp 求出所有出现的下标，之后每一段下标间隔的贡献就是 间隔\(\times\)该位置到末尾的长度
pos.push_back(0);
getnext(s, l2);
kmp(t, s, l1, l2);
ll ans = 0;
for (int i = 1; i < pos.size(); i++) {
ans += 1ll * (pos[i] - pos[i - 1]) * (l1 - l2 - pos[i] + 2);
// cout<<(pos[i]-pos[i-1])*(l1-l2-pos[i]+2)<<endl;
}
循环子矩阵(多校)
给一个 \(n*m\) 的矩阵，找到这个矩阵的周期 \(p,q\)，使得 \(A[i-p][j-q] = A[i][j]\), 定义矩阵的cost为 \(max(A[i][j])*(p+1)*(q+1)\)，输出最小cost
Input:
2 5
acaca
acaca
3 9 2 8 7
4 5 7 3 1
Output:
3(1+1)(2+1) = 18
最小周期一定是行和列同时满足，不难发现行列可以分开处理，分别求出求出行与列最大的周期。求行的循环节时，我们可以对每一列做一次kmp（这里需要先把没列/行的串哈希一下），找到这些列的最大公共循环节，列同理。这样就确定了 \(p, q\).
接下来就是确定每个 \(p*q\) 大小的子矩阵中，局部最大值的最小值。如果只有一维，则是一个滑动窗口问题。二维则只需要先处理一维，同时只中保留该情况最大值，将处理后的矩阵再做另一维滑动窗口即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
int line[N], col[N];
const int seed = 131;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[N];
vector<int> val[N];
int nxt[N];
int n, m, key[26];
inline int getnext(int *a,int n) {
nxt[0]=0;
int i,c,p;
for (i=1;i<n&&a[i]==a[i+1];i++);i--;
nxt[2]=i;c=2,p=2+nxt[2]-1;
if (nxt[2]==n-1) return 1;
for (i=3;i<=n;i++) {
if (p<i||p-i+1<=nxt[i-c+1]) {
nxt[i]=max(p-i+1,0);
while (a[nxt[i]+i]==a[nxt[i]+1]) nxt[i]++;
if (i+nxt[i]>n) return i-1;
c=i,p=i+nxt[i]-1;
}
else nxt[i]=nxt[i-c+1];
}
return n;
}
int getval(int x, int y) {
return val[x][y];
}
deque<int> win(N);
void getmx(int n, int len, int p) {
win.clear();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (!win.empty() && val[p][win.back()] < val[p][i])
win.pop_back();
while (!win.empty() && win.front() < i - len + 1)
win.pop_front();
win.push_back(i);
if (i + 1 >= len)
val[p][i - len + 1] = val[p][win.front()];
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
char c;
for (int i = 0; i < 26; i++)
key[i] = rand();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> s + 1;
for (int j = 1; j <= m; j++) {
c = s[j];
line[i] = (1ll * line[i] * seed + key[c - 'a']) % mod;
col[j] = (1ll * col[j] * seed + key[c - 'a']) % mod;
}
}
int x = 0, y = 0;
int tmp;
val[0].resize(m + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
val[i].resize(m + 1);
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> tmp, val[i][j] = tmp;
}
x = getnext(col, m);
y = getnext(line, n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
getmx(m, x, i);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
win.clear();
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// cout<<i<<","<<j<<endl;
while (!win.empty() && val[win.back()][i] < val[j][i])
win.pop_back();
while (!win.empty() && win.front() < j - y + 1)
win.pop_front();
win.push_back(j);
// cout<< j - y + 1<<" "<<val[win.front()][i]<<endl;
if (j + 1 >= y)
val[j + 1 - y][i] = val[win.front()][i];
// cout<<"---\n";
}
}
int ans = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n - y + 1; i++) {
for (int j = 1; j <= m - x + 1; j++) {
ans = min(ans, val[i][j]);
// cout << val[i][j] << " ";
}
// cout << endl;
}
cout << 1ll * (x + 1) * (y + 1) * ans << endl;
}
浙公网安备 33010602011771号