CF1437F

好神奇的 dp 题。

description

给定数组 \(a\)，求其有多少个排列满足

• \(y_i=\max(a_1,a_2,\dots,a_{i-1})\)

• \(\forall i\in [1,n]\cap\mathbb{Z},2a_i\leq y_i ~\texttt{OR}~ 2y_i\leq a_i\)

以下标区分排列。

solution

我们称一个排列中所有满足 \(2y_i\leq a_i\) 的 \(i\) 为关键点。

将 \(a\) 数组排序，记 \(s_i\) 表示 \(a\) 数组中 \(\leq \lfloor\dfrac{a_i}{2}\rfloor\) 的数的个数加 1。

设 \(f_i\) 表示考虑前 \(i\) 个数，第 \(i\) 个数是关键点且所有 \(\leq \lfloor\dfrac{a_i}{2}\rfloor\) 的数与 \(a_i\) 本身都已经填好的方案数。

如果 \(2\times a_{n-1}>a_n\)，答案为 0；否则，根据状态定义，答案为 \(f_n\)。

这是本题状态设计很有意思的一点，状态本身不能表示所有情况的答案，但是我们可以直接回答其不能表示的情况的答案。

下面来转移：

• \(f_0=1\)

• \(f_i=\sum\limits_{j=0,a_j\times2\leq a_i} A_{n-s_{a_j}-1}^{s_{a_i}-s_{a_j}-1}f_j\)

考虑第二个转移式的意义。

我们枚举上一个关键点 \(j\)，那么根据状态定义，当前还有 \(n-s_{a_j}\) 个位置，又因为 \(a_i\) 一定放在 \(a_j\) 后第一个没有填的位置（否则该位置不能填其他合法的数），所以还有 \(n-s_{a_j}-1\) 个位置不确定，我们要把 \(>\lfloor\dfrac{a_j}{2}\rfloor\) 且 \(\leq \lfloor\dfrac{a_i}{2}\rfloor\) 的除了 \(a_j\) 的 \(s_{a_i}-s_{a_j}-1\) 个数填进去排列。（可以发现，所有空位一定在 \(a_i\) 后边，所以可以放心地把这些数填进去）

特别地，\(j=0\) 时，系数为 \(A_{n-1}^{s_{a_i}-1}\) 正好也符合上述转移式。

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感觉这个 dp 特别神奇，因为从正面去想总感觉哪里不对，但是仔细思考却可以发现其正确性。

code

Submission #228269315 - Codeforces