『笔记』2-SAT

前置

\(SAT\) 是适定性（ \(Satisfiability\) ）问题的简称。一般形式为 \(k \ -\) 适定性问题，简称 \(k-SAT\) 。而当 \(k>2\) 时该问题为 \(NP\) 完全的。所以我们只研究 \(k=2\) 的情况。

定义

\(2-SAT\) ，简单的说就是给出 \(n\) 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 \(<a,b>\) ，表示 \(a\) 与 \(b\) 矛盾（其中 \(a\) 与 \(b\) 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 \(n\) 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。

有学长者云：

有 \(n\) 个 \(01\) 变量 \(x_1∼x_n\)，另有 \(m\) 个变量取值需要满足的限制。

每个限制是一个 $$ 元组 \((x_{p1},x_{p2},\dots,x_{pk})\) ，满足 \(x_{p1} \oplus x_{p2} \oplus \dots \oplus x_{pk} = a\) 。其中 \(a\) 是 \(0/1\) ，\(\oplus\) 是某种二元 \(bool\) 运算。

要求构造一种满足所有限制的变量的赋值方案。

\(2-SAT\) 问题是通过建立图论模型，在 \(O(n+m)\) 的时间复杂度内判断是否有解，若有解可以构造出一组合法解。

思路

值得注意的是在不同的题目中二元 \(bool\) 运算可能有差异，但是建图的基本思路大致相同。

来观摩一组 OI-Wiki 的例子：

比如邀请人来吃喜酒，夫妻二人必须去一个，然而某些人之间有矛盾（比如 \(A\) 先生与 \(B\) 女士有矛盾， \(C\) 女士不想和 \(D\) 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间没有矛盾，有时需要方案。这是一类生活中常见的问题。

使用布尔方程表示上述问题。设 \(a\) 表示 \(A\) 先生去参加，那么 \(B\) 女士就不能参加（ \(\lnot a\)）； \(b\) 表示 C 女士参加，那么 \(\lnot b\) 也一定成立（ \(D\) 先生不参加）。总结一下，即 \((a \lor b)\) （变量 \(a\) ， \(b\) 至少满足一个）。对这些变量关系建有向图，则有：\(\lnot a \Rightarrow b \land \lnot b \Rightarrow a\) （ \(a\) 不成立则 \(b\) 一定成立；同理，\(b\) 不成立则 \(a\) 一定成立）。建图之后，我们就可以使用缩点算法来求解 \(2-SAT\) 问题了。

核心

Tarjan 缩点大法

\(Tarjan\) 大法好！

主要还是考虑如何更合适地建图。

再来一组例子：

假设有 \(a_1\) 、 \(b_2\) 和 \(a_2\) 、 \(b_1\) 两对，已知 \(a_1\) 和 \(b_2\) 间有矛盾，于是为了方案自洽，由于两者中必须选一个，所以我们就要拉两条有向边 \((a_1,b_1)\) 和 \((b_2,a_2)\) 表示选了 \(a_1\) 则必须选 \(b_1\) ，选了 \(b_2\) 则必须选 \(a_2\) 才能够自洽。

然后通过这样建边再跑一遍 \(Tarjan\) 判断是否有一个集合中的两个元素在同一个强连通分量中，若有则不可能，否则输出方案。构造方案只需要把几个不矛盾的强连通分量拼起来就好了。

• 输出方案时可以通过变量在图中的拓扑序确定该变量的取值。如果变量 \(\lnot x\) 的拓扑序在 \(x\) 之后，那么取 \(x\) 值为真。应用到 \(Tarjan\) 算法的缩点，即 \(x\) 所在强连通分量编号在 \(\lnot x\) 之前时，取 \(x\) 为真。因为 \(Tarjan\) 算法求强连通分量时使用了栈，所以 \(Tarjan\) 求得的强连通分量编号相当于反拓扑序。

• 时间复杂度为 \(O(n+m)\) 。

暴力DFS

\(Tarjan\) 好？ \(DFS\) 表示不服。

\(DFS\) 大法妙！

直接选取图上一个点，沿着一条路径搜下去，如果一个点被选择了，那么这条路径以后的点都将被选择。

如果出现一个集合中的两者都被选择了，那么此即为矛盾情况。

例题

P4782 【模板】2-SAT 问题

真·模板题

思路

• 这是一道模板题。

• 显而易见每个变量 \(x_i\) 都可以被分开存储，即拆分成 \(i\) 和 \(i+n\) ，分别表示 \(x_i=1\) 和 \(x_i=0\) ，则这两个事件是互斥的。

• 对于限制 \(x_i\) 的每个命题 \(a\) 和 \(b\) ，一定有一个为真，则可以写成

\[\lnot a \Rightarrow b \\ \lnot b \Rightarrow a \]

那么由此可连边建图 \((\lnot a,b)\) ， \((\lnot b,a)\) 。

• 在该图中，若节点 \(i\) 与 \(i+n\) 在同一个强连通分量中，即允许互相到达，则它们分别代表的互斥事件会同时发生，说明存在矛盾，即不存在一组合法的方案。

• 否则则有解。

• 构造合法解：

  • 对原图缩点得到一张 \(DAG\) 。

  • 对于变量 \(x_i\)，考察节点 \(i\) 与 \(i+n\) 所在强连通分量的拓扑关系。若两分量不连通，则 \(xi\) 可取任意一个值。否则只能取属于拓扑序较大的分量的值。因为若取拓扑序较小的值，可以根据逻辑关系推出取另一个值也是同时发生的。

    by @LuckyBlock

• \(Tarjan\) 算法赋给强连通分量的编号顺序与拓扑序是相反的，上文已有说明。

CODE

/*

Name: P4782 【模板】2-SAT 问题

By Frather_

*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;
/*=========================================快读*/
int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
    {
        if (c == '-')
            f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9')
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
/*=====================================定义变量*/
int n, m;

const int _ = 5000050;

struct edge
{
    int to;
    int nxt;
} e[_];
int cnt, head[_];

int dfn[_], low[_], num;
int bel[_], b_num;

stack<int> s;
/*===================================自定义函数*/
void add(int from, int to)
{
    e[++cnt].to = to;
    e[cnt].nxt = head[from];
    head[from] = cnt;
}

void Tarjan(int u_)
{
    dfn[u_] = low[u_] = ++num;
    s.push(u_);
    for (int i = head[u_]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int v_ = e[i].to;
        if (!dfn[v_])
        {
            Tarjan(v_);
            low[u_] = min(low[u_], low[v_]);
        }
        else if (!bel[v_])
            low[u_] = min(low[u_], dfn[v_]);
    }
    if (dfn[u_] == low[u_])
    {
        b_num++;
        while (true)
        {
            int t = s.top();
            s.pop();
            bel[t] = b_num;
            if (t == u_)
                break;
        }
    }
    return;
}
/*=======================================主函数*/
int main()
{
    n = read();
    m = read();
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x = read();
        int a = read();
        int y = read();
        int b = read();
        if (a && b)
        {
            add(x + n, y);
            add(y + n, x);
        }
        if (!a && b)
        {
            add(x, y);
            add(y + n, x + n);
        }
        if (!a && !b)
        {
            add(x, y + n);
            add(y, x + n);
        }
        if (a && !b)
        {
            add(x + n, y + n);
            add(y, x);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n * 2; i++)
    {
        if (!dfn[i])
            Tarjan(i);
        if (i <= n && bel[i] == bel[i + n])
        {
            printf("IMPOSSIBLE\n");
            return 0;
        }
    }
    printf("POSSIBLE\n");
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ", bel[i] < bel[i + n]);
    return 0;
}

写在最后

• 最近被教练抓颓抓得好苦啊\kk

• 再次向已逝去的学长致敬（（（不是

• 鸣谢：

  • 《算法竞赛进阶指南》

  • OI-Wiki

  • @LuckyBlock