2025dsfz集训Day2：二分与三分
DAY2：二分与三分
特别感谢 此次课的主讲 - Kwling
二分概述
- 二分法，在一个单调有序的集合或函数中查找一个解，每次分为左右两部分，判断解在那个部分并调整上下界，直到找到目标元素，每次二分都将舍弃一般的查找空间，因此效率很高。
二分常见模型
-
二分答案
最小值最大（或是最大值最小）问题，这类双最值问题常常选用二分法求解，也就是确定答案后，配合贪心，\(DP\) 等其他算法检验这个答案是否合理，将最优化问题转化为判定性问题。例如，将长度为 \(n\) 的序列 \(a_i\) 分为最多 \(m\) 个连续段，求所有分法中每段和的最大值的最小是多少？ -
二分查找
用具有单调性的布尔表达式求解分界点，比如在有序数列中求数字 \(x\) 的排名。 -
代替三分(?存疑)
有时，对于一些单峰函数，我们可以用二分导函数的方法求解函数的极值，这时通常将函数的定义域定义为整数域求解比较方便，此时 \(d_x\) 可以直接去整数 \(1\) 。
二分使用范围：
- 必须具备单调性或者是二段性
参考leetcode暑假打卡活动2019——week1中
视频链接：传送门
写二分的过程：
1、确定二分边界
2、编写二分的代码框架
3、设计一个check（性质）
4、判断一下区间如何更新
5、如果更新方式是 L = Mid ， R = Mid - 1 ，那么在算mid时要加1
二分查找
- 手写二分【模版】
- 记得将无序数组变得有序！
- 记得考虑无解的情况。
-
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int target,n; int a[1010001]; int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){ cin>>n>>target; for(int i = 1;i <= n;i++){ cin>>a[i]; } int l = 1,r = n; while(l <= r){ int mid = l+r>>1; if(a[mid] < target) l = mid+1; else r = mid-1; } if(a[l] != target) cout<<-1<<endl; else cout<<l<<endl; }
- 函数二分【模版】
- 直接用
lower_bound求左边界，超级短。 -
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n,target; int a[1010001]; int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){ cin>>n>>target; for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i]; if(binary_search(a+1,a+1+n,target) == true){ int answer = lower_bound(a+1,a+1+n,target)-a; cout<<answer<<endl; } }
- 直接用
二分题目解法&思路
\(T1\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int target,times;
int a[1010001];
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
scanf("%d%d",&n,×);
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
while(times--){
scanf("%d",&target);
int l = 1,r = n;
while(l <= r){
int mid = l+r>>1;
if(a[mid] < target) l = mid+1;
else r = mid-1;
}
if(a[l] != target) printf("-1 ");
else printf("%d ",l);
}
}
\(T2\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,l = INT_MIN,r,m;
int a[1010001];
bool check(int mid){
int tot = 0;
int times = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++){
if(tot+a[i] <= mid) tot += a[i];
else tot = a[i],times++;
}
return times <= m;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i <= n;i++){
cin>>a[i];
l = max(l,a[i]);
r += a[i];
}
while(l <= r){
int mid = l+r>>1;
if(check(mid)) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
cout<<l<<endl;
}
\(T3\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int L,n,m;
int a[2101010];
int ans;
inline bool check(int mid){
int times = 0,ip = 0;
for(int i = 1;i <= n+1;i++){
if(a[i]-a[ip] < mid){
times++;
if(times > m) return false;
}else ip = i;
}
return times <= m;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
cin>>L>>n>>m;
a[n+1] = L;
int l = 1,r = L;
for(int i = 1;i <= n;i++){
cin>>a[i];
l = min(l,a[i]-a[i-1]);
}
l = min(l,L-a[n]);
while(l <= r){
int mid = l+r>>1;
if(check(mid)){
l = mid+1;
}else r = mid-1;
}
cout<<l-1<<endl;
}
\(T4\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[2101010];
int ans;
inline bool check(int mid){
int dis = a[1],mm = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(a[i]-dis >= mid){
mm++;
dis = a[i];
}
}
return mm >= m;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
cin>>n>>m;
int l = 1,r = -99;
for(int i = 1;i <= n;i++){
cin>>a[i];
}
sort(a+1,a+1+n);
for(int i = 1;i <= n;i++){
l = min(l,a[i]-a[i-1]);
}
r = a[n]-a[1];
while(l <= r){
int mid = l+r>>1;
if(check(mid)){
l = mid+1;
}else r = mid-1;
}
cout<<l-1<<endl;
}
\(T5\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[101010],n,L;
double b[101010];
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
cin>>n;
cin>>L;
int maxx = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i],maxx = max(maxx,a[i]);
double l = 0,r = maxx*1.0,mid;
while(r-l > 1e-5){
mid = (l+r)/2;
for(int i = 1;i <= n;i++)
b[i] = (b[i-1]+a[i]*1.0-mid)*1.0;
double ans = 0;
bool fl = 0;
for(int i = L;i <= n;i++){
ans = min(ans,b[i-L]);
if(b[i]-ans >= 0.0){
fl = 1;
break;
}
}
if(fl == 1) l = mid;
else r = mid;
}
cout<<(int)(r*1000)<<endl;
}
\(T6\)
-
\(F[find(i)] == k\)
其中， \(k\) 为常量， \(i\) 为 \(1-n\) 中的任意值。
那么，仔细想想就能想得到，直接二分扩散时间。因为每个点都在扩散，那么两点之间的曼哈顿距离必须小于等于扩散时间乘 \(2\) 才能保证两点在扩散中相遇。
在 \(check\) 函数中，我们直接暴力枚举每个点，如果在 \(mid\) 时间及以前能够相遇，就在并查集中合并二者。最后，如果所有的点拥有相同的公共祖先，即 \(F[find(i)] == k\) ，就可以返回 \(true\) 了。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
int x,y;
}a[1010101];
int f[1010101][2];
int n;
int find(int x){
if(f[x][0] != x) return f[x][0] = find(f[x][0]);
return x;
}
void merge(int x,int y){
f[find(x)][0] = f[find(y)][0];
f[find(y)][1] += f[find(x)][1];
}
bool check(int x){
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = i+1;j <= n;j++){
if(abs(a[i].x-a[j].x)+abs(a[i].y-a[j].y) <= x*2 and find(i) != find(j)) merge(i,j);
}
}
int k = find(1);
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(find(i) != k) return false;
}
return true;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
cin>>n;
for(int i = 1;i <= n;i++){
cin>>a[i].x>>a[i].y;
}
int l = 0,r = 1e9;
while(l <= r){
for(int i = 1;i <= n;i++) f[i][0] = i,f[i][1] = 1;
int mid = l+r>>1;
if(check(mid)) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
cout<<l<<endl;
}
三分
-
三分算法（Ternary Search Algorithm）是一种用于在单峰函数中寻找极值的优化算法。它通过将搜索区间分为三个部分并比较函数在两个划分点的取值，逐步缩小搜索范围来确定极值的位置。（求解带曲线的多次函数）
-
三分算法的基本思路如下：
-
初始化搜索区间，通常是整个定义域的区间。
-
将搜索区间分为三个部分，通常采用两个划分点将整个区间分成三等份。
-
计算两个划分点的函数取值。
-
比较两个划分点的函数取值，如果其中一个划分点的函数值更大（或更小），则极值在该划分点的同侧。
-
根据比较结果更新搜索区间，将较小（或较大）的划分点所在的区间作为新的搜索区间。
-
重复步骤3到步骤5，直到搜索区间足够小，或达到一定的迭代次数。
-
返回搜索区间的中点作为极值的近似位置。
-
三分算法的时间复杂度为 \(O(logN)\) ，其中 \(N\) 为搜索区间的长度。它的优势在于可以在单峰函数中快速找到极值的位置，但不适用于非单调函数或多峰函数的寻优问题。
三分题目解法&思路
\(T1\)
-
随便画出二次函数的一段（二次函数是一个特殊的下凸函数），
我们发现一个下凸函数其上四个点无非有以下几种情况：设下凸函数上四个点横坐标分别为 \(x1<x2<x3<x4\) ，
并且我们已经确定该函数的最小值在 \([x1,x4]\) 之间若F(x1)<F(x2)，则函数的最小值的x的取值范围一定在[x1,x2]之间，因为根据定义，
若有 \(F(x1)<F(x2)\) ，必有 \(F(x1)<F(x2)<F(x3)<F(x4)\) ；若 \(F(x3)>F(x4)\) ，同理可得，函数最小值的取值范围一定是在 \([x3,x4]\) 之间。
若 \(F(x1)>F(x2)\ \&\ F(x2)<F(x3)\) ，
则函数的最小值的 \(x\) 的取值范围一定在 \([x1,x3]\) 之间，
因为下凸函数有且仅有一个低谷，并且下凸函数的最小值在低谷中。若 \(F(x4)>F(x3)\ \&\ F(x3)<F(x2)\)，
同理，函数最小值的取值范围一定在 \([x2,x4]\) 之间。最后就只剩下一种情况了，此时函数最小值的取值范围一定在 \([x2,x3]\) 之间。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double a[101010],b[101010],c[101010];
double f(double x){
double mx = -1e9;
for(int i = 1;i <= n;i++) mx = max(mx,a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]);
return mx;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
int T;
cin>>T;
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&c[i]);
double l = 0,r = 1000;
while(r-l>1e-11){
double m1 = l+(r-l)/3,m2 = r-(r-l)/3;
if(f(m1) <= f(m2)) r = m2;
else l = m1;
}
printf("%.4lf\n",f(r));
}
}
\(T2\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double a[101010],b[101010],c[101010];
double f(double x){
double mx = -1e9;
for(int i = 1;i <= n;i++) mx = max(mx,a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]);
return mx;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
int T;
cin>>T;
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&c[i]);
double l = 0,r = 1000;
while(r-l>1e-11){
double m1 = l+(r-l)/3,m2 = r-(r-l)/3;
if(f(m1) <= f(m2)) r = m2;
else l = m1;
}
printf("%.4lf\n",f(r));
}
}
\(T3\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
double hb,h,d;
double f(double x){
double l = hb-(d*(hb-h)/x);
return d-x+l;
}
int main(Designer = 洛谷@Lwj54joy，uid=845400){
cin>>t;
while(t--){
cin>>hb>>h>>d;
double l = d-(h*d/hb),r = d;
while(r-l >= 1e-5){
double m1 = l+(r-l)/3,m2 = r-(r-l)/3;
if(f(m1) < f(m2)) l = m1;
else r = m2;
}
printf("%.3lf\n",f(r));
}
}
浙公网安备 33010602011771号