机器学习之三：过拟合与正则化

欠拟合、过拟合

用线性回归拟合曲线，或者用逻辑回归确定分类边界时，选择的曲线有多种。

以分类问题为例，给定如下样本：

所取的边界，可以是这样（当然并不止这些）：

不同曲线，对于样本的表达能力，各不相同，上图的几根曲线中：

曲线1，使用一阶曲线，即直线模型，过于简单，出现大量的错误分类，此时的误差较大，模型欠拟合。

曲线2，使用高阶曲线，几乎是完美的完成拟合任务，但如此严格的模型，当新的样本与训练样本稍有不同，极有可能出现误判，此时模型过拟合。

而曲线3，一条相对平滑的曲线，基本能完成拟合任务，同时对于个别噪点也没那么敏感。是一个较为理想的模型。

如何得到曲线3 ？

高阶项的引入，可以构建更为复杂的模型。但从曲线2的形态来看，显然高阶项的影响过大了，需想办法做削减。

假设曲线2的方程为：

\( h_\theta(x) = \theta^{T}x = \theta_0 + \theta_1x + \theta_2x^2 + \theta_3x^3 +...+\theta_nx^n \)

如果要减弱高阶项 \(x^n\) 的影响，可以通过减小 \(\theta_n\) 的值做到。

即是在求取 \(\theta\) 矩阵时，同时要使矩阵内的元素值，尽量的小。

而 \(\theta\) 是通过最小化误差函数计算出来，故而，对J函数做改造——正则化。

正则化误差函数

在原有的误差函数的基础上，增加一个正则项，如下：

\( J = J + \frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 \)

该正则项，是所有 \(\theta\) 参数的平方和。\(\lambda\) 是正则化参数，可以使用不同的 \(\theta\) 值训练模型，对比最后的误差来确定该值。

加上正则项后，求误差函数最小值时，要能得到最优解，不仅要使样本的误差要最小，同时，\(\theta\) 值也要最小才行。

这样就达到了上一节的要求了。

而相对应的梯度，通过求导可得到：

\( grad_0 = grad_0, (j = 0) \)
\( grad_j = grad_j+\frac{\lambda}{m}\theta_j, (j > 0) \)

注意：

正则项有一点需要注意，该项中并没有将 \(\theta_0\) 计入。

因为 \(\theta_0\) 这一项的特征为恒为1(\(x_0 = 1\))，即为0次方。它只会影响曲线的位置高低，对于模型的曲折程度没有影响，故而不需要做正则化处理。

是否只能过通正则化解决过拟合现象?

答案：非也。

首先需要说明的一点，过拟合的出现的根本原因，是模型中较多的变量，却没有足够多的训练样本，来约束这些变量。

也就是，当训练样本逐渐增多的时候，那么曲线2也会慢慢的往曲线3变化，但要拟合到接近曲线2的状态，需要的样本量将是非常的庞大，而最终训练时的运算量也会很庞大，不是很必要。

正则化的误差函数、及其偏导数实现

只列关键部分代码

1 线性回归

h = X*theta;
theta_tmp = theta(2:length(theta),1); 
J = 1/(2*m)*(h-y)'*(h-y) + lambda/(2*m) * sum(theta_tmp.^2);
grad = 1/m * x' * (h- y) + (lambda/m)*[0;theta_tmp];

2 逻辑回归

h = sigmoid(X*theta);
theta_tmp = theta(2:length(theta),1); 
J = 1/m * sum(-y.*log(h) - (1-y).*log(1-h)) + lambda/(2*m) * sum(theta_tmp.^2);
grad = 1/m .* X' * (h-y) + (lambda/m)*[0;theta_tmp];