【高联二试】平面几何

这个平面几何不是你学的那个平面几何（笑）

全等与相似

托勒密定理

在圆内接四边形\(ABCD\) 中，\(|AC|~|BD|=|AB|~|CD|+|AD|~|BC|\)。

几何法证明：取点 \(E\in AC\) ，使得 \(\angle 1=\angle 2\).

\(\because \angle 3,\angle 4\) 是 \(\overset{\frown}{BC}\) 所对的圆周角

\(\therefore \angle 3=\angle 4\)

\(\because \angle1=\angle 2,\angle3=\angle 4\)

\(\therefore \triangle ABE \sim \triangle DBC\)

\(\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD},AB·CD=BD·AE~①\)

\(\because \angle BCE,\angle BDA\) 是 \(\overset{\frown}{AB}\) 所对的圆周角

\(\therefore \angle BCE=\angle BDA\)

\(\because \angle2=\angle 1\)

\(\therefore \angle2+\angle DBE=\angle1+\angle DBE\)
即 \(\angle CBE=\angle DBA\)

\(\because \angle CBE=\angle DBA,\angle BCE=\angle BDA\)

\(\therefore \triangle CBE \sim \triangle DBA\)

\(\therefore \frac{CE}{AD}=\frac{BC}{BD},BC·AD=CE·BD~②\)

\(①+②\) 得 \(AB·CD+AD·BC=(AE+CE)·BD=AC·BD\)

托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，为托勒密不等式的推广。

证明和托勒密定理差不多，但做辅助线要保证 \(\angle 3=\angle 4\)，因此 \(E\) 不一定在 \(AC\) 上，\(AE+CE\ge AC\) ，所以 \(AB·CD+AD·BC=(AE+CE)·BD\ge AC·BD\)，取等条件即为 \(A,B,C,D\) 四点共圆。