快速荷叶叶变换

可以参考 此博客 。

我们把 \(\sum\limits^{N}_{i=1}\sum\limits^{M}_{j=1}\ (N\mod i)*(M\mod j)\),变成\(\sum\limits^{N}_{i=1}\ (N\mod i)*\sum\limits^{M}_{j=1}(M\mod j)\),就有了 \(O(n)\)的方法。

然后 \(N,M \leq 10^9\),显然超时。

我们再把 \(\sum\limits^{N}_{i=1}\ (N\mod i)\) 变成 \(\sum\limits^{N}_{i=1}\ N- \left\lfloor\dfrac{N}{i}\right\rfloor*i\)。

其中的 \(\sum\limits^{N}_{i=1}\ \left\lfloor\dfrac{N}{i}\right\rfloor\)因为是下取整,所以有很多重复的数字出现。这样子我们就有了一种 \(O(\sqrt N)\) 的方法(数论分块)。

按 \(10\) 来说。

\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\(10\)	\(5\)	\(3\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

每一段的右端点就是 \(\left\lfloor\dfrac{N}{\left\lfloor\dfrac{N}{i}\right\rfloor}\right\rfloor\)。也就是 \(N\div(N\div i)\)。

然后每一段再乘以一个 \(i\) 什么之类的,最后用 \(N^2\) 减掉就可以了。

const number=1000000007;

var
	n,m:int64;

function sum(n:longint):int64;
var
	i,right,num:int64;
begin
	sum:=0; i:=1;
	while i<=n do
	begin
		num:=n div i; right:=n div num;
        sum:=sum mod number;
        inc(sum,num*((i+right)*(right-i+1) div 2));
		i:=right+1;
	end;
end;

begin
        read(n,m);
        n:=(((n*n) mod number)-sum(n)) mod number;
        m:=(((m*m) mod number)-sum(m)) mod number;
        writeln((n*m) mod number);
end.