算法第二章实践作业

算法第二章实践作业：找第k小的数的分治算法学习记录

我对着“分治”两个字琢磨了好久，翻了课本又看了好几个例题，才慢慢理出点思路。下面就记录一下我磕磕绊绊的学习过程，肯定有不严谨的地方，还请老师指点。

一、找第k小的数的分治算法思路

分治法更高效，分治的核心是“分而治之”——把大问题拆成小问题，解决小问题后再合并结果，这样能减少不必要的计算。

这个算法的关键步骤是“选主元”和“划分”，跟快排的思路有点像，但比快排更“偷懒”，因为不用全排序。我试着用自然语言捋了一遍流程：

1. 选主元：从要处理的数组里随便挑一个数当“主元”（此处选中间）。

2. 划分数组：把数组分成三部分——比主元小的数（左区间）、等于主元的数（中间区间）、比主元大的数（右区间）。这一步跟快排的划分差不多，就是遍历数组把元素往对应的区间放。

3. 判断第k小的数在哪：计算左区间的元素个数叫left_len，中间区间的叫mid_len。如果k ≤ left_len，说明第k小的数在左区间里，直接去左区间找第k小的数就行；如果left_len < k ≤ left_len + mid_len，那主元就是第k小的数（因为中间全是等于主元的数）；要是k > left_len + mid_len，就去右区间找，不过这时候要找的是右区间里第k - left_len - mid_len小的数了。

4. 递归终止：当数组里只有一个元素的时候，这个元素就是要找的数（因为这时候k肯定是1了）。

基于这个思路，我写了个伪代码

函数 findKthSmallest(arr, k):
// 递归终止条件：数组只有一个元素，直接返回
if 数组arr的长度 == 1:
返回 arr[0]
// 步骤1：随机选主元（这里简化成选数组中间位置的元素，实际随机更好）
主元位置 = 数组arr的长度 // 2 （//表示整除）
主元 = arr[主元位置]
// 步骤2：划分成左、中、右三个区间
左区间left = 空数组
中间区间mid = 空数组
右区间right = 空数组
遍历数组arr中的每个元素x:
if x < 主元:
把x加入left
elif x == 主元:
把x加入mid
else:
把x加入right
// 步骤3：判断k所在区间，递归查找
left_len = left的长度
mid_len = mid的长度
if k <= left_len:
// 第k小的数在左区间，递归找左区间的第k小
返回 findKthSmallest(left, k)
elif k <= left_len + mid_len:
// 第k小的数就是主元
返回 主元
else:
// 第k小的数在右区间，递归找右区间的第k - left_len - mid_len小
返回 findKthSmallest(right, k - left_len - mid_len)

二、算法的时间复杂度分析

时间复杂度这块我一直有点晕，查了好久才勉强搞懂大概思路。时间复杂度主要看划分后每次处理的数组长度和划分的效率。

1. 最好时间复杂度

最好的情况应该是每次选的主元都特别“合适”，刚好能把数组分成差不多相等的两部分。比如每次划分后，左区间和右区间的长度都不超过原来的一半。这时候每次递归处理的数组长度都是上一次的1/2，而划分一次数组的时间是O(n)（遍历一遍数组）。

推导：假设数组长度是n，最好情况下的时间复杂度是T(n)。每次划分后处理的子问题长度是n/2，T(n) = T(n/2) + O(n)。递推几次：T(n) = T(n/2) + n = T(n/4) + n/2 + n = T(n/8) + n/4 + n/2 + n = ... 一直到T(1)的时候，加起来的和是n + n/2 + n/4 + ... + 1 ≈ 2n，所以最好时间复杂度是O(n)。

2. 最坏时间复杂度

每次选的主元都是当前数组里最小或者最大的数。比如数组本来就是升序的，每次还偏偏选第一个元素当主元，那划分的时候左区间就为空，所有元素都在右区间（除了主元自己）。这时候每次递归处理的数组长度只比原来少1，相当于没怎么“分”，跟遍历差不多了。

这时候时间复杂度T(n) = T(n-1) + O(n)。T(n) = T(n-1) + n = T(n-2) + (n-1) + n = ... = T(1) + 2 + 3 + ... + n ≈ n²/2，所以最坏时间复杂度是O(n²)。

三、对分治法的体会和思考

学完分治法这一章，我最大的感受是：分治法不是一种具体的算法，而是一种“解决问题的思路”，核心就是“拆大问题、解小问题、合结果”。以前我做题总想着“一步到位”，比如找第k小的数就先排序，现在发现有时候把问题拆开来，反而能省很多事。

分治法的关键在于“怎么分”和“怎么治”。“分”的时候要尽量把问题拆成规模差不多的子问题，这样递归下去效率才高，就像找第k小的数里选主元一样，选得好分的均匀，效率就上去了，如果分的不均匀，比如最坏情况那样，效率很不好。“治”的时候就是处理子问题，这部分往往很简单，比如递归到数组只有一个元素的时候，直接返回就行。还有个重要的点是“合并”，不过这次找第k小的数好像没怎么用到合并，因为划分后直接就能确定答案在哪个子区间，不用把所有子问题的结果合起来。

递归是实现分治法的常用工具，但分治法不一定非要用递归。但是用递归写分治法很简洁，不用自己写循环去控制规模。但递归也有缺点，比如如果递归层数太多，可能会栈溢出。

分治法其实有点“化繁为简”的味道。比如面对一个n规模的大问题，我们可能不知道怎么下手，但如果把它拆成n/2规模的小问题，可能就觉得熟悉了，再拆到1规模的时候，就完全没问题了。这种思路不仅在算法里有用，平时做题或者解决生活里的问题好像也能用到，比如把一个大任务拆成几个小任务，逐个完成就轻松多了。

当然我现在对分治法的理解还很肤浅，许多问题还没搞太懂，以后还要多做题多琢磨。不过通过这次找第k小的数的实践，至少对分治法的核心思路有了直观的认识。