OI集训 Day1
Content：数据结构
Date：2025.7.17
内容
- 并查集
- ST表
- 线段树
关于树状数组
一维树状数组
单点修改，区间查询
对于这一类最普通的树状数组，没有什么好说的，直接维护前缀和即可。
struct BIT {
long long tr[N];
static int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void add(int pos, long long value) {
for (int i = pos; i <= n; i += lowbit(i))
tr[i] += value;
}
long long query(int pos) {
long long retval = 0;
for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i))
retval += tr[i];
return retval;
}
} tr;
区间修改，单点查询
这里就需要使用到差分了。
记 \(d[i] = arr[i] - arr[i - 1]\)，则我们有：
\[arr[i] = \sum_{i=0}^{n} d[i]
\]
后面的求和可以用树状数组维护。
struct BIT {
long long tr[N];
static int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void add(int pos, int value) {
for (int i = pos; i <= n; i += lowbit(i))
tr[i] += value;
}
long long query(int pos) {
long long retval = 0;
for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i))
retval += tr[i];
return retval;
}
} tr;
这一部分的代码和上面的没什么区别，区别只有 \(main()\) 函数中的输入和修改。
对于输入：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
// 这里存储的是差分后的结果，而不是 a[i]
tr.add(i, a[i] - a[i - 1]);
}
对于修改：
int l, r, x;
cin >> l >> r >> x;
// 差分数组上的区间价相当于 d[l] += v, d[r + 1] -= v;
tr.add(l, x);
tr.add(r + 1, -x);
区间修改，区间查询
对于区间修改，我们沿用上面的思路，接下来我们看如何区间查询。
差分有如下性质：
\[arr[i] = \sum_{i = 0}^{n} d[i]
\]
而我们要求的区间和可以转化为：
\[\begin{aligned}
\sum_{i = l}^{r} arr[i] = \sum_{i = 0}^{r} arr[i] - \sum_{i = 0}^{l - 1} arr[i]
\end{aligned}
\]
所以我们的问题重新转化为了如何求解前缀和。
\[\begin{aligned}
\sum_{i = 0}^{r} arr[i] &= \sum_{i = 0}^{r} \sum_{j = 0}^{i} d[j] \\
&= \sum_{i = 0}^{r} (r - i + 1) \cdot d[i] \\
&= \sum_{i = 0}^{r} (r + 1) \cdot d[i] - i \cdot d[i] \\
&= (r + 1) \cdot \sum_{i = 0}^{r} d[i] - \sum_{i = 0}^{r} d[i] \cdot i \\
\end{aligned}
\]
所以我们用两个树状数组 \(tr1, tr2\) 来分别维护两个和式，就解决了区间求和的问题。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n, q, op, a[N];
int lowbit(int x) { return x & (-x); }
struct BIT {
long long tr[N];
void add(int pos, long long value) {
for (int i = pos; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += value;
}
long long query(int pos) {
long long retval = 0;
for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i)) retval += tr[i];
return retval;
}
} tr1, tr2;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
tr1.add(i, a[i] - a[i - 1]);
tr2.add(i, 1ll * (a[i] - a[i - 1]) * i);
}
for (int i = 1; i <= q; i++) {
cin >> op;
if (op == 1) {
int l, r, value;
cin >> l >> r >> value;
tr1.add(l, value);
tr1.add(r + 1, -value);
tr2.add(l, 1ll * value * l);
tr2.add(r + 1, -1ll * value * (r + 1));
} else if (op == 2) {
int l, r;
cin >> l >> r;
long long ans = (tr1.query(r) * (r + 1) - tr2.query(r)) - (tr1.query(l - 1) * l - tr2.query(l - 1));
cout << ans << '\n';
}
}
return 0;
}
二维树状数组
Pre：二维前缀和
对于二维数组的前缀和有如下公式：
\[sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + arr[i][j]
\]
对于左上角坐标为 \((a, b)\)，右下角坐标为 \((c, d)\) 的子矩阵，其和为：
\[sum[c][d] - sum[a - 1][d] - sum[c][b - 1] + sum[a - 1][b - 1]
\]
单点修改，区间查询
和一维树状数组类似，直接记 \(tr[i][j]\) 为左上角坐标为 \((0, 0)\)，右下角坐标为 \((i, j)\) 的矩阵的和。
修改和查询直接套公式。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1 << 12 + 5;
int n, m, op;
struct BIT {
vector<vector<long long>> tr;
BIT() = default;
BIT(int n, int m) {
tr.assign(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0ll));
}
static int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void add(int x, int y, long long value) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
tr[i][j] += value;
}
long long query(int x, int y) {
long long retval = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
retval += tr[i][j];
return retval;
}
} tr;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
tr = BIT(n, m);
while (cin >> op) {
if (op == 1) {
int x, y, value;
cin >> x >> y >> value;
tr.add(x, y, value);
} else if (op == 2) {
int a, b, c, d;
cin >> a >> b >> c >> d;
long long ans = tr.query(c, d) - tr.query(a - 1, d) - tr.query(c, b - 1) + tr.query(a - 1, b - 1);
cout << ans << '\n';
}
}
return 0;
}
区间修改，单点查询
我们由一维树状数组的区间修改，单点查询启发，可以考虑定义二维差分。
定义二维差分数组（为避免名字冲突，这里定义为 \(c[i][j]\)）\(c[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]\)。
证明
观察到：
\[arr[i][j] = sum[i][j] - sum[i - 1][j] - sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j - 1]
\]
所以二维差分数组 \(d[i][j]\) 满足：
\[a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + c[i][j]
\]
即：
\[c[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1]
\]
所以我们得到了二维差分数组 \(c[i][j]\) 的表达式。
所以我们得到了二维差分数组 \(c[i][j]\) 的表达式。
跟一维差分类似地，我们可以得到子矩阵 \((a, b)\)，\((c, d)\) 加法在差分数组中的等效替代：
\[\begin{aligned}
sum(a, b, c, d, v) \iff & c[a][b] + v, c[c + 1][b] - v, \\
& c[a][d + 1] - v, c[c + 1][d + 1] + v
\end{aligned}
\]
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, op;
struct BIT {
vector<vector<long long>> tr;
BIT() = default;
BIT(int n, int m) {
tr.assign(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0ll));
}
static int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void add(int x, int y, int value) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
tr[i][j] += value;
}
long long query(int x, int y) {
long long retval = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
retval += tr[i][j];
return retval;
}
} tr;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
tr = BIT(n, m);
while (cin >> op) {
if (op == 1) {
int a, b, c, d, value;
cin >> a >> b >> c >> d >> value;
tr.add(a, b, value);
tr.add(a, d + 1, -value);
tr.add(c + 1, b, -value);
tr.add(c + 1, d + 1, value);
} else if (op == 2) {
int x, y;
cin >> x >> y;
cout << tr.query(x, y) << '\n';
}
}
return 0;
}
区间修改，区间查询
保留上面二维树状数组上区间加的操作，接下来看看如何实现区间查询。
对于二维差分，我们有：
\[a[x][y] = \sum_{i = 0}^{x} \sum_{j = 0}^{y} d[i][j]
\]
对于区间查询，我们用前缀和的思路转化为：
\[\sum_{i = a}^b \sum_{j = c}^d a[i][j] = sum[c][d] - sum[a - 1][d] - sum[b - 1][c] + sum[a - 1][b - 1];
\]
而对于二维前缀和，我们有：
\[\begin{aligned}
sum[a][b] &= \sum_{i = 0}^{a} \sum_{j = 0}^{b} \sum_{k = 0}^{i} \sum_{l = 0}^{j} c[k][l] \\
&= \sum_{i = 0}^{a} \sum_{j = 0}^b (a - i + 1) \cdot (b - j + 1) \cdot c[i][j] \\
&= \sum_{I = 0}^{a} \sum_{j = 0}^b (ab - a - b + 1) \cdot c[i][j] -
(b + 1) \cdot i \cdot c[i][j] - (a + 1) \cdot j \cdot c[i][j] + i \cdot j \cdot c[i][j]
\end{aligned}
\]
所以用四个二维树状数组分别维护 \(c[i][j]\)，\(i \cdot c[i][j]\)，\(j \cdot c[i][j]\)，\(i \cdot j \cdot c[i][j]\) 就可以了。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, op;
struct BIT {
vector<vector<long long>> t1, t2, t3, t4;
BIT() = default;
BIT(int n, int m) {
t1.assign(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0ll));
t2.assign(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0ll));
t3.assign(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0ll));
t4.assign(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0ll));
}
static int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void add(int x, int y, long long value) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) {
t1[i][j] += value;
t2[i][j] += value * x;
t3[i][j] += value * y;
t4[i][j] += value * x * y;
}
}
}
long long query(int x, int y) {
long long retval = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j)) {
retval += (x + 1) * (y + 1) * t1[i][j] - (y + 1) * t2[i][j] - (x + 1) * t3[i][j] + t4[i][j];
}
}
return retval;
}
} tr;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
tr = BIT(n, m);
while (cin >> op) {
if (op == 1) {
int a, b, c, d;
long long value;
cin >> a >> b >> c >> d >> value;
tr.add(a, b, value);
tr.add(c + 1, b, -value);
tr.add(a, d + 1, -value);
tr.add(c + 1, d + 1, value);
} else if (op == 2) {
int a, b, c, d;
cin >> a >> b >> c >> d;
long long ans = tr.query(c, d) - tr.query(a - 1, d) - tr.query(c, b - 1) + tr.query(a - 1, b - 1);
cout << ans << '\n';
}
}
return 0;
}
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