[bzoj3771]Triple

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我们讲一个悲伤的故事。
从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫一看:“是啊是啊!”
水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!”
水神又把手上的东西扔在一边,拿起第三个东西问:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫还是看不清楚,但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
于是他又一次答:“是啊是啊!真的是!”
水神看着他,哈哈大笑道:
“你看看你现在的样子,真是丑陋!”
之后就消失了。
 
樵夫觉得很坑爹,他今天不仅没有砍到柴,还丢了一把斧头给那个水神。
于是他准备回家换一把斧头。
回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
水神拿着的的确是他的斧头。
但是不一定是他拿出去的那把,还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
换句话说,水神可能拿走了他的一把,两把或者三把斧头。
 
樵夫觉得今天真是倒霉透了,但不管怎么样日子还得过。
他想统计他的损失。
樵夫的每一把斧头都有一个价值,不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
他想对于每个可能的总损失,计算有几种可能的方案。
注意:如果水神拿走了两把斧头a和b,(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时,(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。
 
可以看到题面非常的劲爆。简单来说,就是给你n个数,你要选出不同的1-3个数,求可能选出的数的和,并输出方案数。
 
题解:为了方便,假设只有3种物品1,2,3
构造选一个物品的生成函数$a(x)=x+x^{2}+x^{3}$。简单来说,系数是方案数,次数是总和。
那么根据生成函数的一套理论,从这3个物品中先后选出3个的方案数是$a^{3}(x)$的对应次数项的系数。
考虑去重,用$b(x)$表示选出两个的生成函数,那么$b(x)=x^{2}+x^{4}+x^{6}$
同理,$c(x)$表示选3个的生成函数,$c(x)=x^{3}+x^{6}+x^{9}$.
重复项有AAB,ABA,BAA,AAA所以减去$3a(x)b(x)$,但是我们发现AAA实际只有一种排列方案,所以加上$2*c(x)$
另外,我们求的是组合不是排列,也就是不考虑顺序,所以答案除去$3!$
所以总结一下,选出三个的生成函数是$$\frac{a^{3}(x)-3a(x)b(x)+2c(x)}{6}$$
同理得到选两个,一个的分别是$\frac{a^{2}(x)-b(x)}{2}$和$a(x)$
所以直接把他们加起来,求对应次数项系数就行了。
最后,选用fft加速求值。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define pi acos(-1)
#define MN 131072
using namespace std;
int X,F;char ch;
inline int read()
{
    X = 0 , F = 0 , ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){ if(ch == '-') F = 1;  ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){X = X * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return F?-X:X;
}

struct cp
{
    double r,u;
    cp(double _r=0,double _u=0):r(_r),u(_u){}
    cp operator+(cp b){return cp(r+b.r,u+b.u);}
    cp operator-(cp b){return cp(r-b.r,u-b.u);}
    cp operator*(cp b){return cp(r*b.r-u*b.u,r*b.u+u*b.r);}
    cp operator/(double b){return cp(r/b,u/b);}
    cp operator*(double b){return cp(r*b,u*b);}
}w[2][MN+5],a[MN+5],b[MN+5],c[MN+5];

int n,mx;


void init()
{
    w[0][0]=w[1][n]=cp(1,0);
    w[0][1]=w[1][n-1]=cp(cos(2*pi/n),sin(2*pi/n));
    for(int i=2;i<=n;i++)
        w[0][i]=w[1][n-i]=w[0][i-1]*w[0][1];
}

void fft(cp*x,int b)
{
    for(int i=0,j=0;i<n;++i)
    {
        if(i>j)swap(x[i],x[j]);
        for(int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1)for(int j=0;j<n;j+=i)for(int k=0;k<i>>1;k++)
    {
        cp t=x[j+k+(i>>1)]*w[b][n/i*k];
        x[j+k+(i>>1)]=x[j+k]-t;
        x[j+k]=x[j+k]+t;
    }
    if(b)for(int i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]/n;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=read();
        a[x].r+=1.0;b[x<<1].r+=1.0;c[x*3].r+=1.0;
        mx=max(mx,x);
    }
    for(n=1;n<=mx*3;n<<=1);
    init();fft(a,0);fft(b,0);fft(c,0);
    for(int i=0;i<n;i++)
      //  a[i]=(a[i]*a[i]*a[i]+a[i]*a[i]*3+a[i]*6-a[i]*b[i]*3-b[i]*3+c[i]*2)/6;
        a[i]=(a[i]*a[i]*a[i]-a[i]*b[i]*3+c[i]*2)/6+(a[i]*a[i]-b[i])/2+a[i];
    fft(a,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x=int(a[i].r+0.5);
        if(x)printf("%d %d\n",i,x);
    }
    return 0;
}

 

 
 
 
 
 
 
 
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posted @ 2017-04-08 16:38  FallDream  阅读(181)  评论(0编辑  收藏  举报