题意:给出n个数$(n<=1e5)$,每个数不大于1e6,保证每个数因子数不多于7个,求一个最短的子串,使其积为某数的完全平方数。

解题思路:做梦都没想到这是个图论的题。因子数不超过7个,说明每个数素因子最多两个,而若该数为素因子平方的倍数,可以将忽略,如27可以直接视为3,对结果不产生影响。因此,可以将每个数分解为两个素数之积,或一个素数。将每个数的两个素因子之间连一条边,若只有一个素因子则和1之间连一条边,最后找一个最小环即可。例如样例6,15,10,对于6会在2,3之间连边,15会在3,5之间连边,10会在2,5之间连边,这样的话会在2,3,5之间存在一个大小为3的环。

  而对于最终的答案,其所在环必然有一个点小于1000,因为$1000^{2}=1e6$,必不可能存在某数两个因子都大于1000,所以枚举1-1000中的素数和1为起点,找出最小环即可。而对于最小环,直接进行bfs搜索,当搜到某点时,若该点已经被访问过,则表示可以行成一个环,更新答案即可。时间复杂度$O(nsqrt{n}+1000n)$,给了3秒足够。

贴上代码

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <ll,ll> pii;
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<y;i++)
#define rept(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define per(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mes(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define mp make_pair
#define dd(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define de(x) cout<<#x<<"="<<x<<"\n"
#define debug() cout<<"I love Miyamizu Mitsuha forever.\n"
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5;
const int maxm=1e6+5;
int head[maxm],to[maxm<<1],nex[maxm<<1],tot=0;
int a[maxn];
int prime[100000],cnt=0;
bool vis[maxm];
 
void add(int a,int b)
{
    to[tot]=b;nex[tot]=head[a];head[a]=tot++;
    to[tot]=a;nex[tot]=head[b];head[b]=tot++;
}
queue<pii> q;
int dis[maxm];
int bfs(int st)
{
    mes(dis,-1);
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(mp(st,-1));
    dis[st]=0;
    int ans=inf;
    while(!q.empty())
    {
        int point=q.front().fi,e=q.front().se^1;
        q.pop();
        for(int j=head[point];j!=-1;j=nex[j])
        {
            if(j==e) continue;
            if(dis[to[j]]!=-1)
            {
                ans=min(ans,dis[to[j]]+dis[point]+1);
                continue;
            }
            dis[to[j]]=dis[point]+1;
            q.push(mp(to[j],j));
        }
    }
    return ans;
}
void solve(int n)
{
    mes(vis,0);
    vis[1]=1;
    rept(i,2,n)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
        }
        rep(j,0,cnt)
        {
            if(i*(ll)prime[j]>n) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    mes(head,-1);
    int n;
    cin>>n;
    solve(1000000);
    rep(i,0,n) cin>>a[i];
    rep(i,0,n)
    {
        rep(j,0,cnt)
        {
            if(a[i]%prime[j]==0)
            {
                ll s=(ll)prime[j]*prime[j];
                while(a[i]%s==0) a[i]/=s;
                if(a[i]%prime[j]==0)
                {
                    s=sqrt(a[i]/prime[j]);
                    if(s*s==a[i]/prime[j]) add(1,prime[j]);
                    else add(prime[j],a[i]/prime[j]);
                }
                else add(1,a[i]);
                break;
            }
            if(a[i]/prime[j]<prime[j])
            {
                add(1,a[i]);
                break;
            }
        }
    }
    int ans=inf;
    rep(i,1,1000)
        if(!vis[i]||i==1) ans=min(ans,bfs(i));
    if(ans==inf) cout<<"-1\n";
    else cout<<ans<<"\n";
    return 0;
}