题目

  Winder最近在学习fibonacci 数列的相关知识。我们都知道fibonacci数列的递推公式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2 且n 为整数)。 Winder想知道的是当我们将这个递推式改为F(n)=AF(n-1)+BF(n-2)(n>=2且n为整数)时我们得到的是怎样的数列。但是,Winder很懒,所以只能由你来帮他来完成这件事。 注意,这里我们依然令F(0)=F(1)=1。

★数据输入

  输入第一行三个正整数N,A 和B(N<=10;1<=A、B<=100 且均为整数)。 接下来有N 行,每行一个自然数n(n<=100000000)。

★数据输出

  输出一行一个整数F(n),由于结果可能会很大,Winder要求输出结果对2013取模。

输入示例 输出示例

5 4 5

2

4

8

16

32

9

209

1377

182

9

 

题解:

  一道很经典的矩阵快速幂裸题。

  首先讲解快速幂,当我们需要求$a^{b}$对mod取模时,可以将b转化为2进制,就可以将b转换为若干个二次幂之和。例如,我们在计算2的12次方时,12的二进制为1100,1100中的两个1的位权分别为4和8,因此$2^{12}$次方便可以转换为$2^{4}*2^{8}$。由此,我们先将答案ans赋值为1,只需要计算a的1,2,4,8.....次方,然后看一下b在该位的数值是否为1即可,如果为1,将ans乘上即可。

快速幂的代码如下

ll fastpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

  接下来回到本题,由于n的数字较大,加上取模速度较慢,本题递归递推会超时。因此需要寻找复杂度小于O(n)的算法。

  由于

$
\left(
\begin{matrix}
a & b \\
1 & 0 
\end{matrix}
\right)*
\binom{f(n)}{f(n-1)}=\binom{f(n+1)}{f(n)}
$我们可以构造矩阵,可以得到

$$
\left(
\begin{matrix}
a & b \\
1 & 0
\end{matrix}
\right) \tag{2}^{n-1}*
\binom{f(1)}{f(0)}=\binom{f(n)}{f(n-1)}
$$

由此,我们只需要计算矩阵

$$
\left(
\begin{matrix}
a & b \\
1 & 0
\end{matrix}
\right)
$$

的n-1次方即可,对于这个矩阵的n-1次方,使用快速幂求出所求矩阵,便可以在$\log n$的时间内计算出f(n)的值。

#include<iostream>
#include
<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<vector> #include<queue> #include<set> using namespace std; typedef long long ll; typedef long double ld; typedef unsigned long long ull; typedef pair <int,int> pii; #define rep(i,x,y) for(int i=x;i<y;i++) #define rept(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++) #define per(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--) #define pb push_back #define fi first #define se second #define mes(a,b) memset(a,b,sizeof a) const int inf=0x3f3f3f3f; const int mod=2013; class matrix { public: int arrcy[6][6];//arrcy为矩阵,下表从0开始 int row,column;//row为矩阵的行,column为矩阵的列 friend matrix operator *(matrix s1,matrix s2) { int i,j; matrix s3; for (i=0;i<s1.row;i++) { for (j=0;j<s2.column;j++) { for (int k=0;k<s1.column;k++) { s3.arrcy[i][j]+=s1.arrcy[i][k]*s2.arrcy[k][j]; s3.arrcy[i][j]%=mod; } } } s3.row=s1.row; s3.column=s2.column; return s3; } }; matrix quick_pow(matrix s1,long long n)//矩阵快速幂函数,s1为矩阵,n为幂次 { matrix mul=s1,ans;
//将ans构造为单位矩阵 ans.row
=ans.column=s1.row; memset(ans.arrcy,0,sizeof ans.arrcy); for(int i=0;i<ans.row;i++) ans.arrcy[i][i]=1; while(n) { if(n&1) ans=ans*mul; mul=mul*mul; n/=2; } return ans; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n,a,b; cin>>n>>a>>b; matrix mul; mul.row=mul.column=2; mul.arrcy[0][0]=a; mul.arrcy[0][1]=b; mul.arrcy[1][0]=1; mul.arrcy[1][1]=0; matrix r; r.row=2; r.column=1; r.arrcy[0][0]=r.arrcy[1][0]=1; rep(i,0,n) { int x; cin>>x; if(!x)//当x=1时,x-1<0无法使用快速幂,答案为0,特判即可 { cout<<1<<endl; continue; } matrix mm=quick_pow(mul,x-1); mm=mm*r; cout<<mm.arrcy[0][0]<<endl; } return 0; }