【讲题】Galaxy OJ 树形DP专题

树形DP专题

【题目传送门】
实际上我开始写题解的时候也没有全部A（我好弱）

T1 没有上司的舞会

  首先要设计 $DP$ 状态：

  设 $dp_{u,\ 0}$ 为当节点 $u$ 不去时，以 $u$ 为根的子树产生的最大欢乐值；
  设 $dp_{u,\ 1}$ 为当节点 $u$ 去时，以 $u$ 为根的子树产生的最大欢乐值。

  我们假设现在 $dfs$ 到节点 $u$ ，节点 $v$ 是 $u$ 的一个子节点，现在我们需要分类讨论：

  若 $u$ 去，则 $v$ 不可以去，即 $dp_{u,\ 1}=\sum\ dp_{v,\ 0}$；
  若 $u$ 不去，则 $v$ 可去可不去，即 $dp_{u,\ 0}=\sum\ max(dp_{v,\ 0},dp_{v,\ 1})$。

  综上所述，我们得到了正解。

  【代码】

T2 寻宝

  这是一道树上背包的题

  我们设 $dp_{u,\ i}$ 为在以 $u$ 为根的子树上探险 $i$ 天，所能获得的最大价值。

  首先 $dfs$ 遍历整一棵树，对于节点 $u$ 和它的子节点 $v$，为了求出 $dp_{u,i}$ 可以这样做：
  先在 $[1,\ m]$ 枚举 $i$，接着在 $[i,\ i-2w]（w为边u \rightarrow v的边权）（没错，倒着枚举）$ 范围内枚举在以 $v$ 为根的子树中的探险时间 $j$ 。
  所以 $dp_{u,\ i}$ 获得了值为 $dp_{v,\ j}$ 的增益。然而 $i$ 天没有全部用完，所以 $dp_{u,\ i}$ 还要加上 $dp_{u,\ i-2w-j}$。

  综上所述，状态转移方程为 $dp_{u,i}=max\{dp_{v,j}+dp_{u,i-2w-j}\}$

  【代码】

T3 完美服务器

  这道题是 $T1$ 的升级版。

  我们发现这一道题的每一个节点都与它周围的节点有关系，于是我们仿照 $T1$ 写出了状态转移方程：

  设 $dp_{u,\ 0}$ 为当节点 $u$ 为服务器时，以 $u$ 为根的子树最少设置的服务器数量；
  设 $dp_{u,\ 1}$ 为当节点 $u$ 有一个子节点为服务器时，~
  设 $dp_{u,\ 2}$ 为当节点 $u$ 的父亲节点为服务器时，~

  接着是愉快的分类讨论推方程，我们的目标是求出 $dp_{i,\ sta}$ ：

  若 $sta=0$ ，就表示 $u$ 为服务器，原式的初始值为 $1$ 。因为 $u$ 为服务器，那么 $v$ 的状态只可以是服务器（0）或父亲为服务器（2），即 $dp_{u,\ 0}=1+\sum max\{dp_{v,\ 0},\ dp_{v,\ 2}\}$；
  若 $sta=1$ ，就表示 $u$ 的儿子中有且仅有一个服务器。我们将状态转化一下可以得到：$dp_{i,\ 0}$ 表示 $i$ 是服务器，父亲和儿子都不是； $dp_{i,\ 2}$ 表示 $i$ 的父亲是服务器，儿子节点都不是。现在我们需要枚举 $v$ 使得 $u$ 的儿子中仅仅有 $v$ 是服务器时的答案，所 以 $dp_{i,\ 1}=min\{dp_{u,\ 2}-dp_{v,\ 1}+dp_{v,\ 0}\}$；
  若 $sta=2$ ，就表示 $u$ 的父亲是服务器，但儿子都不是。所以方程为 $dp_{u,i}=\sum\ dp_{v,\ 1}$。

  综上所述，我写得有点累……

  【代码】

T4 “访问”术馆

  这一道题和 $T2$ 是同样的做法，需要注意的是因为题目要求的是在警察赶到之前，所以答案不是 $dp_{0,\ s}$ ， 而是 $dp_{0,\ s-1}$。

  【无代码】

T5 聚会的快乐

  这是一个披着 $T5$ 幌子的假 $T1$ 。（为什么我一直是90分？！）

  【无代码】

T6 世界杯

  【题解戳这里】

T7 有线电视网

  这道题也是树上背包，与T2有异曲同工之妙。

  设 $dp_{u,\ i}$ 表示在以 $u$ 为根的子树中，选 $i$ 个用户获得的最大收益。
  假设节点 $v$ 是 $u$ 的一个儿子，我们在 $u$ 的子树中选 $i$ 名用户，在 $v$ 的子树中选 $j$ 名用户，可以得到： $dp_{u,\ i}=max\{dp_{u,\ i-j}+dp_{v,\ j}\}$ 。对于每个叶子节点 $x$ ，都有 $dp_{x,\ 1}=w_i\ （w_i为用户支付的钱数）$ 。

  $dfs$ 之后，找到一个最大的 $i$ 使得 $dp_{1,\ i} \geq 0$ ， $i$ 即为答案。

  【代码】

T8 重建道路

  【题解戳这里】

$T6$ 和 $T8$ 的题解是大佬QSH写的~