[bzoj 2005] [NOI2010]能量采集

[bzoj 2005] [NOI2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

用f[i]记录\(gcd(x,y)=i\)的所有点的个数,一个点前面的点的个数与它横纵坐标的gcd是有关的,共有\(gcd(x,y)-1\)个点挡在它的前面.所以对于\(gcd(x,y)=i\)的点,它对答案的贡献就是\(2gcd(x,y)-1\).
那么这里所有点横纵坐标gcd的最大值也就是min(n,m),我们可以先处理出f[i]=(n/i)(m/i).但是对于gcd(x,y)=d的f[d],它的倍数f[2d],f[3*d]...也被算进去了,所以还要减去一些.这样就能维护好f了.
答案就是所有\(f[i]*(2i-1)\)的和

#include <cstdio>
#include <algorithm>

typedef long long LL;

static const int maxm=1e6+10;

LL f[maxm],g[maxm];
int n,m;
LL ans;

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m)std::swap(n,m);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=1LL*(n/i)*(m/i),g[i]=(i<<1)-1;
	
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
			f[i]-=f[j];
			
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=f[i]*g[i];
	
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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