高级(并不)多项式算法总结

牛顿迭代

说白了就是给你一个\(F(x)\),你需要求出一个\(G(x)\),使得\(F(G(x)) \equiv 0 \mod x^n\)

假设我们已经求出了\(H(x)\)满足\(F(H(x)) \equiv 0 \mod x^n\),我们需要推出\(F(G(x)) \equiv 0 \mod x^{2n}\)。我们可以在\(H(x)\)处使用正无穷次拉格朗日中值定理,可以得到泰勒展开式:

\[F(G(x)) \equiv F(H(x))+\frac{F'(H(x))(G(x)-H(x))}{1!}+\frac{F''(H(x))(G(x)-H(x))^2}{2!}+... \mod x^{2n}\]

由于对于任意的\((G(x)-H(x))^q,q \geq 2\)都满足\((G(x)-H(x))^q \equiv 0 \mod x^{2n}\)

所以有:

\[F(G(x)) \equiv F(H(x))+F'(H(x))(G(x)-H(x)) \mod x^{2n}\]

因为需要\(F(G(x)) \equiv 0 \mod x^{2n}\)

所以:

\[F(H(x))+F'(H(x))(G(x)-H(x)) \equiv 0 \mod x^{2n}\]

简单化一下就是:

\[G(x) \equiv H(x)-\frac{F(H(x))}{F'(H(x))} \mod x^{2n}\]

这个东西可以用来计算多项式开方,多项式\(\exp\)

多项式\(\ln\)

给你一个\(A(x)\),你需要求出一个\(B(x) \equiv \ln A(x) \mod x^n\)

两边同时求导,根据复合函数求导的链式法则,有:

\[B'(x) \equiv \ln'(A(x))A'(x) \equiv \frac{A'(x)}{A(x)} \mod x^n\]

注意这里\(A(x)\)的常数项必须为\(1\),求出来的\(B(x)\)常数项为\(0\)

多项式\(\exp\)

给你一个\(A(x)\),你需要求出一个\(B(x) \equiv e^{A(x)} \mod x^n\)

题中的式子可以转化为\(\ln B(x) \equiv A(x) \mod x^n\)

现在我们要求的东西相当于函数\(F(B(x)) = A(x)-\ln B(x)\)\(x^n\)意义下的一个零点,代入牛顿迭代的式子里,有:

\[B(x) \equiv C(x)-\frac{A(x)-\ln C(x)}{-\frac{1}{C(x)}} \mod x^{2n}\]

\[B(x) \equiv C(x)(1+A(x)-\ln C(x)) \mod x^{2n}\]

注意这里\(A(x)\)的常数项必须为\(0\),求出来的\(B(x)\)常数项为\(1\)

代码

应该只放一个多项式\(\exp\)的代码就够了吧。

#include <bits/stdc++.h>

#define rin(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define irin(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define trav(i,a) for(register int i=head[a];i;i=e[i].nxt)
#define Size(a) (int)a.size()
#define pb push_back
typedef long long LL;

using std::cerr;
using std::endl;

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

const int MAXN=100005;
const int MOD=998244353;
const int G=3,INVG=332748118;

int NTT,N,n,m,len,rev[MAXN<<2];
int w[1048576],iw[1048576],inv[MAXN];
int a[MAXN];
int A[MAXN<<2],B[MAXN<<2],C[MAXN<<2];

inline int qpow(int x,int y){
    int ret=1,tt=x%MOD;
    while(y){
        if(y&1) ret=1ll*ret*tt%MOD;
        tt=1ll*tt*tt%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

void ntt(int *c,int dft){
    rin(i,0,n-1) if(i<rev[i])
        std::swap(c[i],c[rev[i]]);
    for(register int mid=1;mid<n;mid<<=1){
        int r=(mid<<1),u=NTT/r;
        for(register int l=0;l<n;l+=r){
            int v=0;
            for(register int i=0;i<mid;++i,v+=u){
                int x=c[l+i],y=1ll*c[l+mid+i]*(dft>0?w[v]:iw[v])%MOD;
                c[l+i]=x+y<MOD?x+y:x+y-MOD;
                c[l+mid+i]=x-y>=0?x-y:x-y+MOD;
            }
        }
    }
    if(dft<0){
        int invn=qpow(n,MOD-2);
        rin(i,0,n-1) c[i]=1ll*c[i]*invn%MOD;
    }
}

void prepare(){
    for(n=1,len=0;n<=m;n<<=1,++len);
    rin(i,1,n-1) rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1)));
}

// 给B求导到A
void deriv(int idx){rin(i,0,idx-2)A[i]=1ll*B[i+1]*(i+1)%MOD;}
// 给A积分到A
void integ(int idx){irin(i,idx-1,1)A[i]=1ll*A[i-1]*inv[i]%MOD;}

// 给B求逆到C利用A
void inver(int idx){
    if(idx==1){C[0]=qpow(B[0],MOD-2);return;}
    inver((idx+1)/2);m=(idx-1)+((idx+1)/2-1)*2;prepare();
    rin(i,0,idx-1)A[i]=B[i];
    ntt(A,1);ntt(C,1);rin(i,0,n-1)C[i]=(2*C[i]-1ll*A[i]*C[i]%MOD*C[i]%MOD+MOD)%MOD;ntt(C,-1);
    memset(A,0,n<<2);rin(i,idx,n-1)C[i]=0;
}

// 给B求ln到A利用C
void polyln(int idx){
    inver(idx);deriv(idx);
    m=(idx-2)+(idx-1);prepare();
    ntt(A,1);ntt(C,1);rin(i,0,n-1)A[i]=1ll*A[i]*C[i]%MOD;ntt(A,-1);
    integ(idx);A[0]=0;rin(i,idx,n-1)A[i]=0;memset(C,0,n<<2);
}

// 给a求exp到B利用A
void polyexp(int idx){
    if(idx==1){B[0]=1;return;}
    polyexp((idx+1)/2);polyln(idx);m=((idx+1)/2-1)+(idx-1);prepare();
    rin(i,0,idx-1)A[i]=(a[i]-A[i]+MOD)%MOD;A[0]=(A[0]+1)%MOD;
    ntt(A,1);ntt(B,1);rin(i,0,n-1)B[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;ntt(B,-1);
    memset(A,0,n<<2);rin(i,idx,n-1)B[i]=0;
}

void init(int N){
    for(NTT=1;NTT<(N<<1);NTT<<=1);
    int v=qpow(G,(MOD-1)/NTT),iv=qpow(INVG,(MOD-1)/NTT);w[0]=iw[0]=1;
    rin(i,1,NTT-1) w[i]=1ll*w[i-1]*v%MOD,iw[i]=1ll*iw[i-1]*iv%MOD;
    inv[1]=1;rin(i,2,N) inv[i]=(-1ll*(MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD+MOD)%MOD;
}

int main(){
    N=read();init(N);
    rin(i,0,N-1) a[i]=read();
    polyexp(N);
    rin(i,0,N-1) printf("%d ",B[i]);putchar('\n');
    return 0;
}

posted on 2019-03-23 09:18 ErkkiErkko 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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