[洛谷P5106]dkw的lcm：欧拉函数+容斥原理+扩展欧拉定理

分析

考虑使用欧拉函数的计算公式化简原式，因为有：

\[lcm(i_1,i_2,...,i_k)=p_1^{q_{1\ max}} \times p_2^{q_{2\ max}} \times ... \times p_m^{q_{m\ max}} \]

其实就是分解质因数，丢到那个式子里：

\[\varphi(lcm(i_1,i_2,...,i_k))=\prod (p_i-1)p_i^{q_{i\ max}-1} \]

容易发现可以分开讨论每个质数，计算每个\(p_i^j\)在多少种\(i_1 \sim i_k\)的取值方案中作为某一项的倍数出现，这里可以容斥做，然后把产生的贡献乘到答案里即可。质数取模的话，不是有扩展欧拉定理嘛，模个\(1e9+6\)就好了。

时间复杂度？不知道，大概在\(O(n) \sim O(nlogn)\)之间吧。

代码

int main(){
	n=read(),k=read();
	pre_process();//这个是筛质数
	int tot=qpow(n,k,MOD-1);
	rin(i,1,cnt){
		int p=prm[i],temp=n/p;
		ans=1ll*ans*qpow(p-1,(tot-qpow(n-temp,k,MOD-1)+MOD-1)%(MOD-1),MOD)%MOD;
		while(1){
			temp/=p;if(!temp) break;
			ans=1ll*ans*qpow(p,(tot-qpow(n-temp,k,MOD-1)+MOD-1)%(MOD-1),MOD)%MOD;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}