[洛谷P5106]dkw的lcm:欧拉函数+容斥原理+扩展欧拉定理
分析
考虑使用欧拉函数的计算公式化简原式,因为有:
\[lcm(i_1,i_2,...,i_k)=p_1^{q_{1\ max}} \times p_2^{q_{2\ max}} \times ... \times p_m^{q_{m\ max}}
\]
其实就是分解质因数,丢到那个式子里:
\[\varphi(lcm(i_1,i_2,...,i_k))=\prod (p_i-1)p_i^{q_{i\ max}-1}
\]
容易发现可以分开讨论每个质数,计算每个\(p_i^j\)在多少种\(i_1 \sim i_k\)的取值方案中作为某一项的倍数出现,这里可以容斥做,然后把产生的贡献乘到答案里即可。质数取模的话,不是有扩展欧拉定理嘛,模个\(1e9+6\)就好了。
时间复杂度?不知道,大概在\(O(n) \sim O(nlogn)\)之间吧。
代码
int main(){
n=read(),k=read();
pre_process();//这个是筛质数
int tot=qpow(n,k,MOD-1);
rin(i,1,cnt){
int p=prm[i],temp=n/p;
ans=1ll*ans*qpow(p-1,(tot-qpow(n-temp,k,MOD-1)+MOD-1)%(MOD-1),MOD)%MOD;
while(1){
temp/=p;if(!temp) break;
ans=1ll*ans*qpow(p,(tot-qpow(n-temp,k,MOD-1)+MOD-1)%(MOD-1),MOD)%MOD;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
posted on 2018-12-18 08:55 ErkkiErkko 阅读(275) 评论(1) 编辑 收藏 举报