随笔分类 - 数学
摘要：今天听 $\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}$ 嘴的，赶紧来补个学习笔记。 我们有点时候需要计算一个较小矩阵的 $n$ 次幂，但直接求幂非常不方便，这是会考虑矩阵对角化，将 $M$ 改写为 $\mathcal{PDP^{-1}}$，这样 $M^n$ 次就可以写为
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摘要：定义与建立 Prufer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示。一个无向带标号生成树与数列之间的双射。 对于一棵树，每次我们选择它编号最小的叶子结点，删除它并记录下与它相连的节点的编号，那么最终记录下的 $n-2$ 个数就组成了这棵树的 Prufe
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摘要：前置知识：矩阵、高斯消元 行列式 行列式 定义 $$ \text{det(A)}=\sum_{p}{(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\prod{A_{i,p_i}}} $$ 其中 $\text{sgn}(p)$ 表示排列 $p$ 的逆序对个数。 行列式 性质 进行一次矩阵转职，行列式不变
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摘要：裴蜀定理（贝祖定理） 定理指出，设 $a,b$ 是不全为 $0$ 的整数，则存在 $x,y$，使得： $$ ax+by=\gcd(a,b) $$ 证明 如果 $a=0$ 或 $b=0$，则显然成立。 若 $a\not=0,b\not=0$。 由于 $\gcd(a,-b)=\gcd(a,b)$，不妨设
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摘要：定义 若数列 \(\{a\}\) 满足 \(a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}\) ，\(c_1,c_2\) 为常数，就称这种数列为二阶常系数齐次线性递推数列。 求解 假如能够将递推关系式改写为 \((a_n-ka_{n-1})=p(a_{n-1}-ka_{n-2})\) 的形式，就
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摘要：基础概念及运用 整除 若对于正整数 \(n,m\)，如果存在整数 \(q\) 使得 \(n=mq\)，则称 \(m\) 整除 \(n\)，记做 \(m|n\)。 最大公约数 \(\gcd(x,y)\)。 互质 最大公约数为 \(1\)。 整除函数与整除分块 记 \(\left\lfloor x\ri
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摘要：排列组合 二项式定理 $$ (a+b)^n=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^{n-i}b^i $$ 常见组合数 在 $S={n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k}$ 集合中选出 $r$ 个元素的方案数： 大概是容斥一下，咕咕咕
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摘要：第一类斯特林数 咕咕咕 第二类斯特林数 定义：把 \(n\) 个不同的球放入 \(r\) 个相同的盒子的方案数（盒子不能为空，记为：\(S(n,r)\) 或 \(\begin{Bmatrix}n\\r\end{Bmatrix}\) 。 递推式： \(\begin{Bmatrix}n\\r\end{B
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摘要：（咕咕咕：矩阵的秩） 向量 定义就不用说了吧。。 定义向量空间 $\mathbb{Z}^n$ 表示定义在整数域上的向量 ${a_1,a_2,\dots,a_n}$，$\mathbb{Z}^n_k$ 表示向量运算中逐位向 $k$ 取模。 客串一个向量旋转的公式：如果要将一个二维实数域上的向量旋转 $\
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摘要：\(\text{SG}\) 函数详解 阶梯博弈 只用考虑奇数阶的台阶，偶数阶的不用考虑（对手会把它再变回偶数阶）。 P3480 [POI2009]KAM-Pebbles 主要代码： for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(); for(int i=n;i>=1;i-=2) ans
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