「微积分 A1」导数与微分

导数

导数定义：\(f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow \infty}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)（要求此极限存在，则称此函数在 \(x_0\) 处可导）

导数也有如下表达形式：

• \(\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}\)
• \(y'|_{x = x_0}\)
• \(\frac{df(x)}{dx}|_{x = x_0}\)

左右导数

左导数：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)（要求极限存在，右导数同理）

定理 \(1.1\)：函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导的充要条件是此处左右导数皆存在且相等

导数与连续关系

某点处可导必连续，连续不一定可导。

求导法则

四则运算不赘述。

定理 \(2.2\)：若函数 \(x = g(y)\) 单调可导，且 \(g'(y) \not = 0\)，则 \(y = f(x)\) 可导且有 \(f'(x) = \frac{1}{g'(y)}|_{y = f(x)} = \frac{1}{g'(f(x))}\)。

高阶导数

\(n\) 阶导数：

\[\frac {d ^ ny}{d x ^ n} = f ^ {(n)}(x) \]

基本初等函数的 \(n\) 阶导数：

\[\begin{align*} ({e}^{\lambda x})^{(n)} & = {e}^{\lambda x} \lambda^{n} \\ (a^{x})^{(n)} & = a^{x} (\ln a)^{n} \\ (\sin x)^{(n)} & = \sin \left( x + \frac{n\pi}{2} \right) \\ (\cos x)^{(n)} & = \cos \left( x + \frac{n\pi}{2} \right) \\ (x^{\mu})^{(n)} & = \mu^{\underline{n}} x^{\mu - n} \end{align*}\]

高阶导数运算性质

\[\begin{align*} (\lambda f + \mu g)^{(n)}(x_0) &= \lambda f^{(n)}(x_0) + \mu g^{(n)}(x_0) \\ (fg)^{(n)}(x_0) &= \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0) g^{(n - k)}(x_0) \end{align*}\]

微分

概念、运算、高阶微分

不过多阐述，可形象理解为“微小变化量”，计算时很直观。
运算完全可以参考导数（毕竟导数即微商）。

高阶微分公式：

\[d^ny = f^{(n)}(x)(dx)^n \]