题解 P3628 【[APIO2010]特别行动队 】

题目大意

​ 给你一个序列， 将这个序列分成若干段， 每一段的贡献为 \(ax ^ 2 + bx + c\)(x 为 这一段的权值之和)

具体思路

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50pts

​ 考虑Dp， 设$Dp_i$为前i个数分成若干段的最大收益, 则$Dp[i] = max(Dp[j-1] + Cost_{i,j})\quad(j <= i)$

​ 现在想\(cost\) 函数怎么求得

​ 设\(Sum[i]\) 为 i 的前缀和， 则\(cost_{i, j} = a(Sum[i] - Sum[j]) ^ 2 + b (Sum[i] - Sum[j-1]) + c\) 可以\(O(1)\) 求得

100pts

​ 想一想如何优化这个转移， 发现j每次都是从1 至 n , 考虑进行斜率优化

​ 不妨设　x > y 且　ｘ的转移优于ｙ

​ 则\(Dp[x] + a(Sum[i] - Sum[x]) ^ 2 + b (Sum[i] - Sum[x]) + c > Dp[y]+ a(Sum[i] - Sum[y]) ^ 2 + b (Sum[i] - Sum[y]) + c\)

\(\Leftrightarrow Dp[i] + a(Sum[i] ^ 2 + Sum[x] ^ 2 - 2 * Sum[i] * Sum[x]) + b(Sum[i] - Sum[x]) + c > Dp[y] + a(Sum[i] ^ 2 + Sum[y] ^ 2 - 2 * Sum[i] * Sum[x]) + b(Sum[i] - Sum[y]) + c\)

\(\Leftrightarrow Dp[i] + aSum[i] ^ 2 + aSum[x] ^ 2 - 2 * a * Sum[i] * Sum[x] + b Sum[i] - bSum[x ] + c > Dp[y] + a * Sum[y] ^ 2 + a * Sum[y] ^ 2 - 2aSum[i] * Sum[x] + bSum[i] - bSum[y] + c\)

移项、合并同类项得

​ \(Dp[x] - Dp[y] + a(Sum[x ] ^ 2 - Sum[y] ^ 2) - b(Sum[x] - Sum[y]) > 2aSum[i](Sum[x] - Sum[y])\)

\(\Leftrightarrow \frac{Dp[x] - Dp[y] + a(Sun[x] ^ 2 - Sum[y] ^ 2) - b(Sum[x] - Sum[y])}{(Sum[x] - Sum[y])} > 2aSum[i]​\)

\(\Leftrightarrow \frac{Dp[x] + aSum[x] ^ 2 + bSum[x] - Dp[y] - aSum[y]^2 - bSum[y]}{(Sum[x] - Sum[y])} > 2aSum[i]\)

​ 注意：由于题面说\(a < 0 ​\) 所以如果要将ａ除过去要将符号转向

不难发现左式为一个直线的点斜式，故令其为Slope(x, y)　要满足决策单调性即Slope满足单调性，　用单调队列维护即可

代码实现

#pragma GCC optimize("O2")
#pragma GCC optimize("O3")

#include <cstdio>

template<class T>
inline void read(T &a){
    T s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') w = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') {s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48), c = getchar();}
    a = s * w;
}

#define maxn  1000010
static int n,s[maxn],l,r,q[maxn];
static long long a,b,c,dp[maxn];

#define A(x) (dp[x] + a * s[x] * s[x] - b * s[x])
#define P(x) (s[i] - s[x])

inline double slope(register int x, register int y){
    return 1.0 * (A(x) - A(y)) / ((s[x] - s[y]));
}

signed main(){
    read(n), read(a), read(b), read(c);
    for (register int i = 1; i <= n; i++){
        int x;
        read(x);
        s[i] = s[i-1] + x;
    }

    for (register int i = 1; i <= n; i++){
        while(l < r && slope(q[l + 1], q[l]) > 2*a*s[i]) l++;
        dp[i] = dp[q[l]] + a * P(q[l]) * P(q[l]) + b * P(q[l]) + c;
        while(l < r && slope(q[r], q[r-1]) < slope(i, q[r])) r--;
        q[++r] = i;
    }
    printf("%lld", dp[n]);
    return 0;
}