[博弈]ZOJ3591 Nim

题意：

给了一串数，个数不超过$10^5$，这串数是通过题目给的一段代码来生成的

int g = S; 
         
 for (int i=0; i<N; i++) { 
         

              a[i] = g;
         

              if( a[i] == 0 ) { a[i] = g = W; }
         

              if( g%2 == 0 ) { g = (g/2); }
         

              else           { g = (g/2) ^ W; }
         

          }

其中S、N、W都是输入的。

问：从中取连续的一段出来玩Nim博弈，先手赢的取法有多少种。

 

Nim博弈的结论：每堆异或，最后结果为0的先手输，否则，先手赢；

于是这道题就变成了取连续的一段，异或值不为0的取法数。

 

N最大有1e5，显然需要O(n)复杂度的方法

异或没什么感觉...如果这道题问的是 取连续的一段，和为X的取法有多少种 

那么就很自然的能想到前缀和  第i到第j的总和为sum[j]-sum[i-1]

那联想到这道题，能不能求个前缀异或呢？ 

对！

而且异或能分为 0 与 非0 两种情况

那么在查询 第i到第j 这一段的异或值时，只需要比较 xor_sum[i] 与 xor_sum[j]

假设xor_sum[i]=X; xor_sum[j]=X;

那么很显然i+1到j的这一段为0  ( X xor 0 = X)

我们只需要记录有多少段为0，用总的n*(n+1)/2去减去就是答案了；

 

为什么要记录有多少段为0？记录有多少段为0？

我们已经有前缀异或，那么当第二次出现某一值时，这个值 前一次出现的位置 到 本次出现的位置 之间这一段 就是异或值为0的。

因此我们统计异或值为0的要方便的多。

做法就是记录所有的xor_sum出现的次数加起来就好了嘛

 

int a[100005];
map<LL, LL> mp;
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int n, s, w;
        scanf("%d%d%d", &n, &s, &w);
        int g = s;
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            a[i] = g;
            if( a[i] == 0 )
                a[i] = g = w;
            if( g%2 == 0 )
                g = (g/2);
            else
                g = (g/2) ^ w; 
        }
        LL xor_sum=0, ans=0;
        mp.clear();
        mp[0]=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            xor_sum^=a[i];
            ans+=mp[xor_sum];
            mp[xor_sum]++;
        }
        print((LL)n*(n+1)/2-ans);
    }
    return 0;
}