[杂题]CSUOJ1413 Area of a Fractal

题目链接

题意：题中给了图，所以不看字大概也知道

　　  求的是第n个图形的面积。

 

就是找规律 递推 一类的...

 

先给结论：

很鬼畜的公式：    $\displaystyle\frac{3\times 17^n+2\times 7^n}{5}$

 

递推式是:  $\displaystyle S_n = S_{n-1}\times 17-4\times 7^{n-1}$

 

重点在于17和7是怎么来的。

 

在题图的基础上画些个框框  

 

观察可以发现 图1中的 $1\times 1$的方格变成了图2中$\sqrt{17}\times \sqrt{17}$的方格

　　　　其中17就是$4\times 4 + 1\times 1$

 

所以第二个方格的面积为前一个方格的17倍。

 

显然17倍了之后还不是该图形的面积，因为有（灰格子）的面积少了。

 

数一下就会发现4个拐中的每个拐都缺了7块

 

 

就这样 神奇的7和17都得到了。。。

然后解啊解啊就能解出那个鬼畜的公式了。

 

有了公式这题就很简单了 

只需要用ex_gcd求出5的逆元，然后套一套公式，模一模就完成了~

 

代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <string>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
using namespace std;
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <deque>
#include <set>
#include <map>
typedef long long LL;
typedef long double LD;
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
#define INF 0x3f3f3f
#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
typedef pair<int, int> PI;
typedef pair<int, PI > PP;
#ifdef _WIN32
#define LLD "%I64d"
#else
#define LLD "%lld"
#endif
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
//LL quick(LL a, LL b){LL ans=1;while(b){if(b & 1)ans*=a;a=a*a;b>>=1;}return ans;}
//inline int read(){char ch=' ';int ans=0;while(ch<'0' || ch>'9')ch=getchar();while(ch<='9' && ch>='0'){ans=ans*10+ch-'0';ch=getchar();}return ans;}
inline void print(LL x){printf(LLD, x);puts("");}
//inline void read(LL &ret){char c;int sgn;LL bit=0.1;if(c=getchar(),c==EOF) return ;while(c!='-'&&c!='.'&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();sgn=(c=='-')?-1:1;ret=(c=='-')?0:(c-'0');while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret=ret*10+(c-'0');if(c==' '||c=='\n'){ ret*=sgn; return ; }while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret+=(c-'0')*bit,bit/=10;ret*=sgn;}
const int mod=1000000007;

LL quick(LL a, LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}

void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b)
    {
        ex_gcd(b, a%b, x, y);
        int tmp=x;
        x=y;
        y=tmp-(a/b)*y;
    }
    else
    {
        x=1, y=0;
        return ;
    }
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        if(n==0)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        int x, y;
        ex_gcd(5, mod, x, y);
        print((((3*quick(17, n))%mod+(2*quick(7, n))%mod)*x)%mod);
    }
    return 0;
}