集合例題

例：設集合\(M=\{x \bigg | \frac{ax-5}{x^2-a}<0,x\in\mathbb{R}\}\)，若\(3\in M\)，且\(5\notin M\)，求實數\(a\)的取值範圍。
解：由於3是M的元素，所以\(\frac{3a-5}{9-a}<0\)，
\(\begin{cases} 3a-5&<0\\ 9-a&>0 \end{cases}\)
解得\(a<\frac{5}{3}\)
另一種可能是：
\(\begin{cases} 3a-5&>0\\ 9-a&<0 \end{cases}\)
解得\(a>9\)
由\(5\notin M\)得\(\frac{5a-5}{25-a}\geqslant 0\)，
\(\begin{cases} 5a-5&\geqslant 0\\ 25-a&> 0 \end{cases}\)，
\(\begin{cases} 5a-5&\leqslant 0\\ 25-a&< 0 \end{cases}\)
解得\(1\leqslant a<25\)
所以a的取值範圍為\([1, \frac{5}{3})\cup (9,25)\)。