我劝你读读 [Björklund 选集] (1)

Rota 曾言, "每个数学家其实也只有几个 trick, 即使是 Hilbert 也是如此".

Björklund 的许多工作要么是给一些问题的指数做出了惊人的改进, 要么是给一些神奇的问题给出了多项式复杂度的算法. 当我们统一审视这些问题的时候, 大概能够发现 Björklund 基本上围绕两个思想: 一个是将问题代数化 (其中可能需要设计一些合适的抵消), 另一个是通过合适的方式利用组合侧的随机化, 来进行 "挤水".

之前的博客里讲过的一些东西就不复读了.

\(k\)-d matching

给出 \(kn\) 个点, 分成 \(k\) 个大小为 \(n\) 的部分 \(V_1,\dots,V_k\), 然后给出若干条超边 (hyperedge), 也即一条边 \(e\) 在每个 \(V_i\) 里有一个端点. 问这个图是否有完美匹配.

显然, \(k=2\) 的情况是传统的二分图匹配, 而众所周知 \(k=3\) 就已经是 NPC 问题了.

我们先看 \(k=3\) 的情况.

先考虑前两部图, 也即 \(V_1, V_2\) 的部分, 每条边就是真的一条边, 我们需要选出一个完美匹配, 满足每条边对应的 \(V_3\) 里的点互不相同.

我趣, 这不是我们子集卷积吗. 拍上去, \(O^*(2^n)\) 做完了.

对于一般的 \(k\), 显然能做到 \(O^*(2^{(k-2) n})\).

\(k\)-set exact cover

给出一些大小为 \(k\) 的集合, 问能否选出一些集合构成精确覆盖.

对于 \(k=2\) 的情况, 这无非是一般图匹配.

对于 \(k=3\) 的情况, 我们可以先考虑随机选取一个大小为 \(\rho n\) 的子集. 如果有一个精确覆盖的话, 看每个三角形和这个子集的关系. 交集大小有可能是 \(0, 1, 2, 3\).

我们假设交集大小都是 \(0, 1, 2\). 那么 \(0\) 的那部分可以直接把集合幂乘起来. \(1\) 和 \(2\) 部分, 我们记 \(D\) 是那些交集为 \(1\) 的三角形, \(A\) 是那些交集为 \(2\) 的三角形构成的反对称矩阵. 那么 \(D+A\) 的行列式会枚举出选这些点和边的完美覆盖, 有一些符号的交替, 但总而言之是多项式时间的.

这个做法一次测试的时间是 \(O^*(2^{(1-\rho) n})\) 的, 因为有这么多大小的集合幂级数信息. 但它也只有指数级别的成功概率 \(c(\rho)^n\). 我们需要重复试验 \(c(\rho)^{-n}\) 才能成功.

经过优化, \(2^{1-\rho} c(\rho)^{-1}\) 可以取到最小值 \(\approx 1.496\).

一般而言, 对于更大的 \(k\) 也可以得到对应的挤水结果.

无向图, 经过 \(k\) 个指定点的最短回路

注意, 没有指定 \(k\) 个点的经过顺序, 只要求它们都被经过了.

首先进行一个理智检验: 如果 \(k=n\), 这是哈密顿路, 恐怕只能有指数时间算法. 如果能有一个 \(c^k n^{O(1)}\) 算法就很好了.

首先我们先看看如何大概通过 "计数" 知道是否有解.

无向图这个条件相当关键, 我们考虑在计数的过程中, 从 \(k\) 个点的第一个点出发, 过程中经过每个点恰好一次.

如果一条路径有交点, 因为我们考虑的是 无向图, 那么路径的一侧可以翻转, 又得到一条不同的路径.

如果我们是在特征为 \(2\) 的域上计数, 那么这个对合原则上就会消去所有的非简单路径.

当然, 这需要一些更加细致的讨论, 比如为了防止所有路径被调换, 我们要要求 \(1\) 出发的点要比最后回来时候的点小. 记录路径的时候要记上一个点, 以防直接走回去, 这样非简单路径一侧只有一条边的话是不能对合的.

这样的状压 DP 复杂度大约是 \(2^k n^{O(1)}\).

特征为 \(2\) 的域不能用太小的 \(\mathbb F_2\), 但用大一些的就可以了.

Comment. 鉴于现在哈密顿路已经做到了 \(1.66^n\), 把 \(2^k\) 的底数优化并非不可能.

无向图, 两对点之间的不交最短路径

给定 \(s_1\to t_1, s_2 \to t_2\), 问是否存在两条不交的路径总和最短.

记邻接矩阵为 \(A\), 我们给 \(s_1,s_2,t_1,t_2\) 以外的对角线位置都 \(+1\), 然后给 \(A_{s_1,t_1}, A_{s_2,t_2}\) 位置加一的话, \(\operatorname{per} A\) 会枚举两条路径勾连 \(s_1,t_1, s_2,t_2\). 但这不是准确的说法, 因为路径还有可能是 \(s_1\to t_2, s_2\to t_1\) 甚至 \(s_1 \to s_2, t_2\to t_1\) 的.

但神奇的是, 如果另外考虑这么勾连的另外两种矩阵 \(A'\) 和 \(A''\), 可以把它们线性组合, 把错误的方案消掉, 但相应的, 正确的方案被数了两倍.

我们不能再用特征为 \(2\) 的域上 \(\operatorname{per} = \det\) 了, 但是 \(\bmod 4\) 也能做.

以及为此, 为了解决最短, 需要挂在多项式上, 需要 \(\bmod 4\) 的多项式上的 \(\operatorname{per}\). 但总之这是 \(n^{O(1)}\) 可解的.

Comment. 经过实验, 三个点对的情况好像不能用 per 这么简单地消出来了, 但是也没有显著证明说明三个点对做不了.

三阶张量的渐进秩猜想 和 \(k\)-集合覆盖猜想 互斥

渐进秩猜想 是说, 对于一个三阶张量 \(T\in K^{r\times r\times r}\), 有 \(R(T^{\otimes n}) \leq r^{n+o(n)}\).

注意这个猜想是非常强的, 比如它会直接推出 \(\omega = 2\).

而 \(k\)-集合覆盖猜想 是说, 不存在一个 \(\delta >0\), 使得任何 \(k\)-集合覆盖都有 \((2-\delta)^n\) 算法. 其中 \(k\)-集合覆盖就是输入的集合都 \(\leq k\) 的集合覆盖问题.

对于常数大小的 \(k\), 我们可以补齐所有集合的子集, 这样覆盖就变成了精确覆盖.

现在考虑这样一个问题: 给三个集族 \(\mathcal {A,B,C}\), 每个集族包含的都是一些大小 \(\leq (1/3+\tau)n\) 大小的集合, 问是否能从 \(\mathcal {A,B,C}\) 里各选出一个集合, 构成 \([n]\) 的精确覆盖.

显然用子集卷积可以做到 \(O^*(2^n)\), 而且这个问题能 \(O^*((2-\delta)^n)\) 的话, 也就能以差不多的复杂度否决 \(k\)-集合覆盖猜想.

考虑张量 \(T = x_1y_0z_0 + x_0y_1z_0 + x_0y_0z_1\) 的 \(T^{\otimes n}\), 这个张量计算的恰好就是子集卷积 \(X\sqcup Y \sqcup Z = [n]\).

我们考虑把 \(T^{\otimes 3}\) 挖掉三维的全集部分, 记为 \(P\), 那么 \(P\) 是一个 \(7\times 7\times 7\) 的张量. \(P^{\times (n/3)}\) 枚举的是 \(X\sqcup Y\sqcup Z\), 但每三个块都没有被其中任何一个集合独占.

如果 渐进秩猜想 成立, 那么 \(P^{\otimes (n/3)}\) 的计算是可以 \(7^{n+o(n)}\) 完成的.

现在把 \([n]\) 先随机排列一下, 然后分成 \(\alpha n\) 部分和 \((1-\alpha) n\) 部分, 后面的部分三个一组, 用 \(P\) 的高阶张量幂计算. 复杂度是 \((2^{\alpha} 7^{(1-\alpha)/3})^{n+o(n)}\).

但这样的计算也是有错误率的, 记为 \(c(\alpha)^n\), 我们需要重复试验 \(c(\alpha)^{-n}\) 次才能成功.

经过计算和挤水, 发现对于 \(\tau = 10^{-3}\), 可以做到 \((2-10^{-6})^n\).

这就说明了 \(k\)-集合覆盖猜想 和 渐进秩猜想 互斥.

值得一提的是, 容易发现上面那个集合覆盖问题, 也会顺带解决有向图的 Hamilton 路问题, 这可能也是 Björklund 考虑这个东西的一个原因.

Comments 现在对于代数算法已经到了 虐待 的程度. 我们记得, 之前有 Nederlof 的结果说明, \(\omega=2\) 则无向二分图 TSP 可以 \(1.99999^n\) 计算. 那个做法用到了非常复杂的手段, 最后也要挤水.

回想对于代数算法的早期运用, 只要 \(\omega < 3\) 往往就能给出惊人的加速. 但现在这一代结论却需要 \(\omega < 2.000001\) 这种.

你愿意相信这给 \(\omega\) 的下界提供了一种证据吗?

或者, \(k\)-集合覆盖猜想 可以看做是 SETH 的一个类比, 那么我们能否用代数算法和 SETH 联系起来, 甚至和 CKT-SETH 联系起来?

更加野心勃勃的计划: 能否将对于代数算法的 虐待 进行 scale down, 得到非平凡的 \(\mathcal C\)-电路可满足性 问题的加速, 进而得到下一代线路复杂性下界?

(upd: 然后 Kevin Pratt 最近显著地加强了一点这个结果...)