[CTT2022] 欧拉? 欧拉! 解析

题目大意

给定 \(n\) 和模数 \(M\), 计算

\[\sum_{p\in S_n} x^{\# [p_i > i]} y^{\#[p_i > p_{i+1}]}. \]

保证 \(n\leq 60\).

解法概要

事实上本题似乎存在用 \(0\) 次容斥, \(1\) 次容斥, \(2\) 次容斥, \(3\) 次容斥的几种不同思路, 最后都能够通过本题.

• 一开始编这道题的时候是 \(3\) 次容斥, 后来减少到 \(2\) 次容斥.
• Isonan 验题的时候告诉我可以 \(1\) 次容斥, 后来又发现可以不容斥.

这里只择 \(2\) 次容斥的做法讲解.

首先考虑如下问题: 有 \(k\) 条链, 第 \(i\) 条链的约束是形如 \(<<>>>>\) 的, 其中有 \(L_i\) 个小于号和 \(R_i\) 个大于号
(\(\sum_i (L_i + R_i + 1)=n\)). 此外还要求第 \(i\) 条链的峰 \(\leq a_i\), 问有多少种合法排列.

不妨考虑从小到大插入, 设 \(a_i\) 单调不降. 记 \(S_i = \sum_{j\leq i} (L_j+R_j+1)\), 那么此时我们还剩 \(a_i-S_{i-1}\) 个数可以用, 答案就是

\[\prod_{i=1}^k \binom{a_i-S_{i-1}}{L_i+R_i+1}\binom{L_i+R_i}{L_i}. \]

我们考虑进行 \(2\) 次容斥.

外层容斥是对所有 \(p_i > i\) 做二项式反演. 要么 \(a_i=i\), 要么 \(a_i=n\).

内层对相邻大小关系做容斥.

注意到如果我们要保证每个连通块的峰值限制要么是 \(i\), 要么整个连通块不能有限制, 否则不能用前述公式计算.

所以应该 逐个确定容斥方式.

不妨考虑如下场景:

• \(a_i\) 要么是 \(i\) 要么是 \(n\), 已经确定.
• 从大到小确定 \(p_i\) 和 \(p_{i+1}\) 的关系 (不限制/\(<\)/\(>\)).

考虑 \(p_{i-1}\) 和 \(p_i\) 的大小关系的时候:

• 如果 \(p_i\) 所在这个连通块的峰值有限制, 那么 \(p_{i-1}\) 和 \(p_i\) 的大小关系的大小关系分 "\(<\)" 和 "不限制" 两种贡献拆开.
• 否则, \(p_{i-1}\) 和 \(p_i\) 的大小关系的大小关系分 "\(>\)" 和 "不限制" 两种贡献拆开.

总共用一个四维的 DP 实现, \(f(i,j,k,l)\) 分别记录当前下标, \(j\) 记录第一步容斥枚举了几个, \(k\) 记录第二步容斥枚举了几个, \(l\) 记录前面支撑点有限制的连通块的大小之和.

转移比较抽象, 不写出式子了.

高复杂度的话可能会得到 \(60\) 分, 稍微优化一下转移则是一个常数很小的 \(O(n^5)\), 期望得分 \(100\).

若干注记

Remark 1 其实好像还可以稍微仔细地区分一下不同的做法, 貌似有的做法求一行是 \(O(n^4)\) 的但有的做法依然是 \(O(n^5)\). 但是由于我编的第一个做法也做不到所以没这么干

Remark 2 场上有 6 个人的 \(O(n^6)\) 做法冲过去了

Question 1 能不能更猛一点啊?

多余的话

1. 想出这题的动机还挺自然的, 就是因为行和与列和得到的都是 Eulerian 数.

2. 听说如果题面里出现了艾和兰, 有些事情会有所不同, 不过事情早已过去了.