Wronskian

出处: Wronskians and linear independence. A. Bostan & P. Dumas.
American Mathematical Monthly, vol. 117, no. 8, pp. 722–727, 2010.

Wroński 行列式

对于 \(n\) 个多项式 \(f_1(x),\dots,f_n(x)\), 定义其 Wroński 行列式为

\[ W(f_1,\dots,f_n) = \det \begin{pmatrix} f_1 & \cdots & f_n\\ f_1' & \cdots & f_n'\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ f_1^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{pmatrix}. \]

定理. 在特征 0 的情况下, 多项式 \(f_1,\dots,f_n\) 线性无关当且仅当 \(W(f_1,\dots,f_n) \neq 0\).

特殊情况

考虑这么一种最为简单的情况: 各 \(f_i\) 都是单项式 \(f_i(x) = x^{d_i}\). 此时 Wroński 行列式为

\[ \begin{align*} \det ((x^{d_i})^{(j)}) &= \det (x^{d_i-j} d_i \cdots (d_i-j+1))\\ &= x^{(\sum d_i) - \binom{n}{2}} \det(d_i^j)\\ &= x^{(\sum d_i) - \binom{n}{2}} V(d_1,\dots,d_n). \end{align*} \]

其中 \(j\) 从 \(0\) 取到 \(n-1\). 第二行是因为可以对多项式进行消元.
其中 \(V(d_1,\dots,d_n)\) 是 Vandermonde 行列式. 我们知道, \(V\neq 0\) 当且仅当 \(d_i\) 两两不同.

一般情况

注意 Wroński 行列式关于 \(f_i\) 之间可以做可逆 \(K\)-线性变换. 所以如果 \(f_i\) 线性相关, 显然 \(W=0\).

否则, 不妨将 \(f_i\) 进行 Gauss 消元, 得到 \(f_i = c_i x^{d_i} + O(x^{d_i - 1})\), 其中 \(d_i\) 互不相同.

考虑最高次项, 我们会有

\[W(f_1,\dots,f_n) = V(d_1,\dots,d_n)\cdot\left(\prod c_i\right) x^{(\sum d_i) - n(n-1)/2}(1 + O(x^{-1})). \]

所以 \(W\neq 0\). \(\square\)

折叠 Wroński 行列式

对于 \(n\) 个多项式 \(f_1(x),\dots,f_n(x)\), 次数不超过 \(k\). 固定 \(\gamma\neq 0\), 且对于 \(0 < i < k\) 皆有 \(\gamma^i \neq 1\). 定义其折叠 Wroński 行列式 (folded Wronskian) 为

\[ W_\gamma(f_1,\dots,f_n) = \det \begin{pmatrix} f_1(x) & \cdots & f_n(x)\\ f_1(\gamma x) & \cdots & f_n(\gamma x)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ f_1(\gamma^{n-1} x) & \cdots & f_n(\gamma^{n-1} x) \end{pmatrix}. \]

定理. 多项式 \(f_1,\dots,f_n\) 线性无关当且仅当 \(W_\gamma(f_1,\dots,f_n) \neq 0\).

证明. 首先考虑各 \(f_i\) 都是单项式 \(f_i(x) = x^{d_i}\) 的情况. 此时折叠 Wroński 行列式为

\[ \begin{align*} \det ((\gamma^j x)^{d_i}) &= \det (x^{d_i} \gamma^{d_i j})\\ &= x^{\sum d_i} V(\gamma^{d_1},\dots,\gamma^{d_n}). \end{align*} \]

由于 \(\gamma^{d_i}\) 互不相同, 所以 \(V\neq 0\).

一般情况, 同样可以考虑消元之后的最高此项. \(\square\)