[SCOI 2009] 迷路 (矩阵快速幂)
[SCOI 2009]迷路
问题描述
Windy 在有向图中迷路了。 该有向图有 \({N}\) 个节点，Windy 从节点 \({1}\) 出发，他必须恰好在 \({T}\) 时刻到达节点 \({N}\)。
现在给出该有向图，你能告诉 Windy 总共有多少种不同的路径吗？
注意：Windy 不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。
输入格式:
第一行包含两个整数，\({N,T}\)；
接下来有 \({N}\) 行，每行一个长度为 \({N}\) 的字符串。第 \({i}\) 行第 \({j}\) 列为 \({0}\) 表示从节点 \({i}\) 到节点 \({j}\) 没有边，为 \({1}\) 到 \({9}\) 表示从节点 \({i}\) 到节点 \({j}\) 需要耗费的时间。
输出格式:
包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以 \({2009}\) 的余数。
样例输入1:
2 2
11
00
样例输出1:
1
样例说明1:
\({1→1→2}\)
样例输入2:
5 30
12045
07105
47805
12024
12345
样例输出2:
852
说明:
对于 \({ 30 \% }\) 的数据，满足 \({2 \leq N \leq 5,1 \leq T \leq 30}\)；
对于 \({ 100 \% }\) 的数据，满足 \({2 \leq N \leq 10,1 \leq T \leq 10^9}\)。
分析
1.这dio图里怎么还有自环呢？
哦 凑时间用的
2.既然是个图 那就画出来看看叭(过于抽象以至于未完成）
实在蚌埠住了
3.乂~它在矩阵快速幂专题里面诶，那就先打个板子叭
（打板子ing）
既然是矩阵快速幂，那肯定要推递推式啊
\({\large 试试就逝世}\)
假如输入是个邻接矩阵
我们先不看边权(假设边权都为1) 无权的都推不出来还推什么带权的
显而易得
这个邻接矩阵自乘\({T}\)次之后 \({a[1][n]}\) 就是答案
设\({F[i,j]}\)表示\({i \sim j}\)
若有连边则说明\({i \sim j}\)有一种路径
那么\({a[i][k]*a[k][j]}\)就相当于从\({i}\)走到\({k}\)的方案数乘以从\({k}\)到\({j}\)的方案数
将所有的\({a[i][k]*a[k][j]}\)加起来 就能得到多走\({1}\)的方案数
于是就有了方程：
\({\large F_t=\sum_{k=1}^n {F_{t-1}}[i,k] * F_1[k,j]}\)
所以\({F_1}\)就是最原始的矩阵aaaaaaaaa
但问题在于 这个矩阵的边权不为\({1}\)aaaaaaaaaaa
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问佬佬()
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
学成归来
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于是我们知道了一个叫做拆点的东东
由于上限为9
我们将\({1}\)个点拆成\({9}\)个点，第\({i}\)个点拆成的第\({j-1}\)个点向第\({j}\)个点连一条边权为\({1}\)的边
那么\({i \sim j}\)有一条边权为\({k}\)的边等价于\({i}\)向\({j}\)拆成的第\({k}\)个点连边
最后再跑一遍矩阵快速幂就好啦~~~
code
Elaina's code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f
#define INF 0x7fffffff
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Elaina 0
const int N = 15;
const int mod = 2009;
int n,sn,t;
struct Mat{
int n,m;
int a[N*9][N*9];
void clean(){
mst(a,0);
}
void unit(){
clean();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i][i]=1;
}
}
void resize(int x,int y){
n=x,m=y;
}
Mat operator * (const Mat &A) const {
Mat res;
res.resize(n,n);
res.clean();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=1;k<=n;k++){
res.a[i][j]=(a[i][k]*A.a[k][j]+res.a[i][j])%mod;
}
}
}
return res;
}
};
Mat qpow(Mat A,int b){
Mat res;
res.resize(n,n);
res.unit();
while(b){
if(b&1){
res=res*A;
}
A=A*A;
b>>=1;
}
return res;
}
Mat mat;
signed main(){
cin>>n>>t;
sn=n;
n*=9;
char x[N];
mat.resize(n,n);
//拆分大点为小点
for(int i=1;i<=sn;i++){
for(int j=1;j<=8;j++){
mat.a[(i-1)*9+j+1][(i-1)*9+j]=1;
}
}
//大点这个集合建边
for(int i=1;i<=sn;i++){
scanf("%s",x+1);
for(int j=1;j<=sn;j++){
if(x[j]>'0'){
mat.a[(j-1)*9+1][(i-1)*9+x[j]-'0']=1;
}
}
}
mat=qpow(mat,t);
cout<<mat.a[sn*9-8][1]%mod;
return Elaina;
}
都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)
