2025/07/20 东师

模拟赛

exp：100+100+100=300

100+70+55=225，挂了75分，看题前一定要先看部分分，不要因为题太简单就不看。

T2，T3全部挂在side情况了 ， 但是由于T3 捆绑 ，T2有一个部分分专门是这个side（我没看到），就导致全挂了

该题已全部改完

T1 knapsack

简单的背包计数，但如果背包大小加强到\(10^{12}\)怎么做？

注意到 \(n=40\) ，把集合分成两部分，对一部分暴力选后 meet in the middle，复杂度 \(O(2^{\frac{n}{2}})\)

T2 cg

高中空间向量大放送。注意：在自己推式子之前，如果有除法，一定要想分母能否为0。还有就是不要太相信大样例。

T3 expression

简单 \(dp\)，启示在于注意 side 情况 ， 如 \(n=1\) 等，尤其是在捆绑测试的情况下。

T4.chess

思路难点在于转期望，既然一个点的位置只和一些固定动点有关，那么我们可以考虑把情况和转期望，这样更容易发现一些性质。

然后我们发现，一次移动的期望值会变为 \(dp_{i+1}+dp_{i-1}-dp_i\) ，这就是经典性质了，差分后转两点交换。

发现它构成一个排列进行 \(k\) 次交换，由于我们只关心最后位置期望，直接上快速幂就好

数论1

莫比乌斯反演

已经足够熟悉了 ，总结一下整个流程：拿到一个式子，整理出\(\epsilon\)的形式，莫反，通过移动求和等方法转成一个数论分块/其他算法可做的事情。

直接看题吧

P3312

按照上面方法推式子。

\[\sum^{n}_{T=1}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor g(x) \]

其中

\[g(x)=\sum_{d|x}\sigma(d)\mu(\frac{x}{d}) \]

注意到题目给的限制只影响 \(g\) 的取值，用树状数组维护即可

P6271

按照常规方法推式子会发现剩下一个 \(\sum^{n}_{i=1}i^k\)，这是一个经典的可递推的式子，高斯消元或拉差都可以

P4213 【模板】杜教筛

如果我们要筛 \(f\) 的前缀和：

\[\sum_{i=1}^n (f\ast g)(i)=\sum_{i=1}^n F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)g(i) \]

让 \(i=1\) 把\(F(n)g(1)\) 拿出来：

\[F(n)=\sum_{i=1}^n (f\ast g)(i)-\sum_{i=2}^n F({\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}) \]

整除分块即可，复杂度为 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)