复数 学习笔记

今天被 \(wd\) 吐槽为什么不写博客了 , 那我必须回归到我忠诚的 \(cnblogs\) 当中 (乐)

正好我们班下次班会的主题貌似是复数的样子 , 那不得不有一篇学习笔记了 , 接下来我会写下有关复数我的一些理解 , 就从复数起源开始了

卡尔达诺公式和复数起源

你在学习复数时有没有一点疑惑 , 在于明明我们可以靠规定负数不能开根号来解决形如 \(x^2+1=0\) 的方程的根 ( 即无实数根 ) 来解决问题 , 凭什么要定义一个 \(i\) 出来

这样的话我们就不得不提一个公式 , 卡尔达诺公式 , 它是用来解决三次方程求根从而应运而生的

对于任意三次方程 \(x^3-ax-b=0\) , 其中 \(a>0\) 且 \(b>0\)

\[x=\sqrt[3]{\sqrt{-(\frac{a}{3})^3+(\frac{b}{2})^2}+\frac{b}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{-(\frac{a}{3})^3+(\frac{b}{2})^2}-\frac{b}{2}} \]

注意到 \(-(\frac{a}{3})^3+(\frac{b}{2})^2\) 不全为正 , 我们在三次方程求根又遇到对负数开方问题 , 这次远不如之前那么走运 , 数学家不得不面对负数如何开方这一大问题了

卡尔达诺发现了一个方程 , \(x^3-15x-4=0\)

套公式算 \(-(\frac{a}{3})^3+(\frac{b}{2})^2=-121\) , 但是这个方程肉眼可见的有一个根为 \(4\) , 如果你代回去算就会发现 , 最后都负数的平方根被消掉了

当时的数学家们很快意识到 , 如果我们把这些负数的平方根当作实数来使用 , 那么就可以使用卡尔达诺公式得出三次和四次方程的解 , 这就是复数的出现了

复数的三角表示

从某种意义上来说 , 复数就是规定了乘法的向量 , 为什么这么说 ?

现在我们换一种方式看待复数 : 给出一个复数 \(z\) 肯定有模长 \(\rho\) , 这个复数与实轴成一个夹角 \(\theta\) , 我们称之为 \(z\) 的辐角

确定了模长和辐角 , 可以确定唯一一个复数 , 这就是复数的三角表示 :

复数\(z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\)

首先来看\(\bar{z}=\rho(\cos\theta-i\sin\theta)=\rho(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\)

以三角表示的形态重新审视复数乘除法

\[\begin{aligned}z_1z_2 &=\rho_1\rho_2(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) \\ &=\rho_1\rho_2(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1 \sin\theta_2+i(\cos\theta_1\sin\theta_2+\sin\theta_1\cos\theta_2)) \\ &=\rho_1\rho_2\cos(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_1+\theta_2) \end{aligned} \]

模长相乘 , 辐角相加

\[\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &=\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)} \\ &=\frac{\rho_1}{\rho_2} (\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))\\ &=\frac{\rho_1}{\rho_2}\cos(\theta_1-\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2) \end{aligned} \]

模长相除 , 辐角相减

现在 , 我们可以通过乘法实现复平面(即笛卡尔坐标系)内的旋转

乘上 \(i\) 就相当于逆时针旋转 \(90°\) , 乘几次就转几次 , 同理的 , 乘上 \(\cos\theta+i\sin\theta\) 就相当于逆时针旋转 \(\theta\) , 乘几次就转几次

目前为止 , 我们能通过这个结论得出一个重要公式 , 棣莫弗定理 , 它是这样的 :

\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta) \]

棣莫弗本人证明它的时候用了数学归纳法 , 我们完全不用归纳法 , 就从复数乘法的几何意义去看就能弄明白 , 逆时针转了 \(n\) 次 \(\theta\) 角就相当于逆时针转 \(n\theta\)

单位根

给个定义 : 使得 \(z^n=1\) 的所有 \(z\) 叫做 \(n\) 次单位根 , 其中 \(z\in C , n\in Z+\)

我们直接上棣莫弗公式 , 即 :

\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta)=1 \]

所以 \(n\theta=2k\pi(k\in Z)\) , \(\theta=\frac{2k\pi}{n}\)

注意到只有 \(k\) 为 \([0,n-1]\) 时是有用的 , 后面的全在循环 , 所以 \(n\) 次单位根有 \(n\) 个

举个例子 , 还记得老师上课讲的一些特殊的复数么 , 我们来看看这个 : \(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\) , 你会发现它的 \(\theta=\frac{2\pi}{3}\) , 所以它是 \(3\) 次单位根 , 它就具有那些好的性质

当 \(k\) 取到 \(1\) 时 , 其他所有的同次单位根都能用它的若干次方表示 , 所以 \(k\) 取 \(1\) 时的单位根为原根

所有的 \(k\) 次单位根在复平面的单位圆上 , 构成一个正 \(k\) 边形

为什么把单位根单独拎出来说 , 因为他在很多工程方面极其的有用 , 下面举一个我比较熟悉的例子 , 离散/快速傅里叶变换 , 注意下文是我感性理解的 :

先来点不与复数有关的前置知识 , 多项式的系数/点值表示法

很容易理解的 , 系数表示法就是给出多项式中每一项的系数

点值表示法有点类似待定系数法 , 我们可以用 \(k\) 个点来确定一个 \(k\) 次多项式 ( 通过待定系数 )

也就是说 , 设 \(f(x)\) 对应多项式的值 , 我们可以通过 \((x_1,f(x_1)) , ...... , (x_n,f(x_n))\) 来确定一个多项式

接下来我们考虑两个多项式相乘 , 正常我们要枚举 \(f\) 每一个系数和 \(g\) 每一个系数乘到一起 , 如果用点值表示法呢

\(f*g=(x_1,f(x_1)*g(x_1)) , ...... , (x_n,f(x_n)*g(x_n))\)

问题来了 , 我们要代入哪些点值呢 , 傅里叶说 : "我们代入 \(n\) 次单位根" , 这就是离散傅里叶变换

我们还可以进一步优化 :

对于 \(n\) 项多项式 \(A\) 我们把他按奇偶分为两组有 :

\[A_0(x)=a_1x^0+a_3x^1+a_5x^2+... \]

\[A_1(x)=a_2x^0+a_4x^1+a_6x^2+... \]

\(A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2)\)

代入 \(\omega_n^k\) 有 :

\[A(\omega_n^k) =A_0(\omega_n^{2k})+\omega_n^{k}*A_1(\omega_n^{2k})=A_0(\omega_\frac n2^{k})+\omega_n^{k}*A_1(\omega_\frac n 2^{k})\]

\[A(\omega_n^{k+\frac n 2})=A_0(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac n 2}*A_1(\omega_n^{2k+n})=A_0(\omega_\frac n2^{k})-\omega_n^{k}*A_1(\omega_\frac n 2^{k}) \]

也就是说 , \(A1(x)\) 和 \(A2(x)\) 分别在 \(\frac{n}{2}\) 次单位根时的点值已经求过 , 就可以只用 \(n\) 次运算推出 \(n\) 次单位根点值 , 也就是说 , 再下来我们可以接着做缩小了一半规模的子问题 , 总运算量 \(n\log_2n\)

这就是快速傅里叶变换 , 可以说 , 快速傅里叶变换就是运用单位根的良好对称性所作

欧拉公式

对于欧拉公式 , 我会给出两个证明 , 第一个证明是不严谨的 , 只能说是感性理解的证明 , 但跟我上面讲的很有关 , 第二个大家应该都知道 , 就是泰勒级数 , 跟我上面讲的一点关系都没有 , 而且我根本就不会 , 所以我只是贴上去一个严谨证明 , 我会先说第二个

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+... \]

\[e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+... \]

\[e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+... \]

\[e^{ix}=(1-\frac{x^2}{2!}...)+i(x-\frac{ix^3}{3!}...) \]

\[e^{ix}=\cos x+i\sin x \]

言归正传 , 我们看看棣莫弗公式 , 假如把 \(\theta\) 当成一个自变量的话 , 就有 : \(f(\theta)^n=f(n\theta)\) , 满足这样性质的函数你能想到什么 ? 指数函数

如果我们对 \(f(\theta)\) 开导的话会发生什么呢 ?

\(f'(\theta)=-\sin x+i\cos x=if(\theta)\)

一个指数函数的导数与原函数的比值为定值 , 它大抵就应该是 \(e^{kx}\) , 其中 \(k\) 就应该是那个定值

这样 , 我们通过一点都不严谨的感性理解 , 大概看出了
\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)

或者说我们来一个更直观一点的理解 , \(\frac{d}{dz}e^{ix}=ie^{iz}\) , 而 \(i\) 的几何意义前面也提到了 , 逆时针旋转 \(90°\)

而当 \(x=0\) 时 , 函数值为 \(1\) , 那么我们不难发现随 \(x\) 变化
在单位圆上 \(e^{iz}\) 做圆周运动

卷绕数和代数基本定理

关于这两个东西 , 我的了解也非常不深入 , 也很有可能讲错 , 只能给大家讲一个大概 , 也就是高斯对于代数基本定理的证法

设 \(f\) 是一个 \(C->C\) 的全纯函数 , 形象的想 , 这是一个复平面上的点对应另一个复平面上的点

而全纯函数是什么呢 , 它的定义极其复杂 , 我们可以简单的给他理解成连续 , 或者说处处可导 , 在值域平面上连续的在定义域平面上一定连续

现在我们在定义域的那个复平面上 , 规定逆时针为正方向 , 连续的选取了一些点形成一段回路 \(\gamma\) , 而以此把这些点对应到另一个复平面上 , 注意 : 要保留方向 , 在值域上形成了一段回路 , 卷绕数就是这段路径绕过原点 \((0,0)\) 的圈数

听起来很不好理解 , 举个例子就好了

比如 , 对于函数 \(f(z)=z\) , \(\gamma=\{z| |z|=1\}\) , 它的卷绕数就是 \(1\) , 在值域上形成一个圆

倘若对于函数 \(f(z)=z^2=e^{2i\theta}\) , \(\gamma=\{z| |z|=1\}\) , 就绕了两个圈 , 它的卷绕数就是 \(2\)

关于卷绕数的个数 , 有一个很强很强的结论 , 也就是卷绕数定理 , 就是卷绕数就是在\(\gamma\) 范围内 (注意这里是这条路径圈出来的范围内) 根的个数

接下来对于一个任意的复系数一元 \(n\) 次多项式函数 , 我们让 \(\gamma\) 取 \(\{z| |z|=inf\}\) , 这里 \(inf\) 指很大很大很大很大一个数 , 函数最高次数项 \(z^n\) 要远远远远远大于后面的项 , 体现在函数闭合曲线上就是只有稍微一小点波动 , 我们可以直接忽略不见

所以现在 \(f\) 的卷绕数就是原函数根的数量 , \(f\) 的卷绕数我们可以同之前 \(f(z)=z^2\) 的求法 , 就是 \(n\) , 所以原函数在这个范围内有 \(n\) 个根 , 而这个范围很大 , 我们直接近似成 \(C\) 就好了 , 这就是代数基本定理的卷绕数证明